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高三年级学情检测
数学试题参考答案
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
B
A
D
A
A
B
C
D
二、多项选择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有
多项符合题目要求．全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分。
题号
9
10
11
12
答案
BD
BC
BCD
ABC
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
13．4；14．
1
2
；15．
1
2
；16．
1
31
8
2
n
n
B
，
(第一空 2 分，第二空 3 分)．
四、解答题：共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．【解析】
（
1
）因为
2 cos
cos
b c C
aA
，
所以
(2 )cos cosb c A a C
，
所以
2sin cos sin cos cos sin sin( ) sinB A A C A C A C B
，
因为
sin 0B
，所以
1
cos
2
A
，
因为
(0 )A，
，所以
3
A
．
（
2
）因为
12
33
BD BA BC
，所以
1
3
CD CA
；
所以
1 1 3
sin
3 6 12
BCD ABC
S S bc A bc
△ △
，
因为
2 2 2
2 cosa b c bc A
，
所以
22
9 b c bc bc
，当且仅当
bc
时，等号成立，
所以
3 3 3
12 4
BCD
S bc
△
，
所以
BCD△
面积的最大值为
33
4
．
- 2 -
18．【解析】
（
1
）因为
2
( 1) 3
n
nn
aa
，
令
n
取
21n
，则
2 1 2 1
3
nn
aa
，
即
1
3
nn
bb
，
11
1ba
，
所以
数列
{}
n
b
是以
1
为首项，
3
为公差的等差数列，
所以
32
n
bn
．
（
2
）令
n
取
2n
，则
2 2 2
3
nn
aa
，
所以
30 1 3 29 2 4 30
( ) ( )S a a a a a a
，
由（
1
）可知，
1 3 29 1 2 15
330a a a b b b
；
2 4 2 2 4 6 28 30
( ) ( ) 2 21 23
n
a a a a a a a a
；
所以
30
330 23 353S
．
19．【解析】
（1）证明：连接
11
D E D F，
，取
1
BB
的中点为
M
，连接
1
MC ME，
，
因为
E
为
1
AA
的中点，所以
1 1 1 1
EM AB C D
，且
1 1 1 1
EM AB C D
，
所以 四边形
11
EMC D
为平行四边形，所以
11
D E MC
，
又因为
F
为
1
BB
的中点，所以
1
BM C F
，且
1
BM C F
，
所以 四边形
1
BMC F
为平行四边形，所以
1
BF MC
，
所以
1
BF D E
，所以
1
B E D F， ， ，
四点共面；
（2）以
D
为坐标原点，
1
DA DC DD， ，
分别为
x
轴，
y
轴，
z
轴建立空间直角坐标系，
假设存在满足题意的点
G
，设
(0 0 )Gt，，
，由已知
(1 1 0) (1 0 1) (0 1 1)B E F，， ， ，， ， ，，
，
则
( 1 1 0)EF ，，
，
(0 1 1)EB ，，
，
( 1 0 1)EG t ， ，
，
设平面
BEF
的法向量为
1 1 1 1
()x y z ， ，n
，
x
y
z
M
F
C
1
D
1
C
B
1
A
1
E
A
B
D
G
- 3 -
则
1
1
0
0
EF
EB
n
n
，即
11
11
0
0
xy
yz
，
取
1
1x
，则
1
(1 1 1) ，，n
；
设平面
GEF
的法向量为
2 2 2 2
()x y z ， ，n
，
则
2
2
0
0
EF
EG
n
n
，即
22
22
0
( 1) 0
xy
x t z
，
取
2
1xt
，则
2
( 1 1 1)tt ， ，n
；
因为 平面
GEF
平面
BEF
，所以
12
0nn
，
所以
1 1 1 0tt
，所以
1
2
t
，
所以 存在满足题意的点
G
，使得平面
GEF
平面
BEF
，
DG
的长度为
1
2
.
20．【解析】
（1）由题意可知
满意
不满意
合计
上班族
15
40
55
非上班族
35
10
45
合计
50
50
100
零假设为
0
:H
市民对交通的满意度与是否上班独立，
因为
2
2
100 (15 10 35 40) 2500
25.253 10.828
50 50 55 45 99
；
根据小概率值
0.001
的独立性检验，我们推断
0
H
不成立，即认为市民对交通的满
意度与是否上班有关，此推断犯错误的概率不大于 0.001.
（2）（i）当
5n
时，
5
X
的取值为 1，2，3，4，5，
由（1）可知 市民的满意度和不满意度均为
1
2
；
所以
5
1
( 1)
2
PX
，
5
2
1
( 2)
2
PX
，
5
3
1
( 3)
2
PX
，
5
4
1
( 4)
2
PX
，
5
4
1
( 4)
2
PX
，
所以
5
X
的分布列为
- 4 -
5
X
1
2
3
4
5
P
1
2
2
1
2
3
1
2
4
1
2
4
1
2
所以
5
2 3 4 4
1 1 1 1 1 31
1 2 3 4 5
2 2 2 2 2 16
EX
；
（ii）
2 3 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1 2 3 ( 1) 2
2 2 2 2 2 2
n
n n n
EX n n
，
当
n
趋向于正无穷大时，
n
EX
趋向于 2，此时
n
EX
恰好为不满意度的倒数；
也可以理解为平均每抽取 2 个人，就会有一个不满意的市民．
21．【解析】
（1）由已知
(0) e 0fb
，所以
eb
；
又
1
( ) e 1
x
f x a
，
所以
(0) e 1 ek f a
，
所以
1a
．
（2）函数
()fx
的定义域为
R
；
因为
1
( ) e 1
x
f x a
，
（i）若
10a
，即
1a
时，
( ) 0fx
，
()fx
在
R
上单调递增，
因为 当
1x
时，
( ) (1 ) 1 (1 ) | | 1f x a x b a x b
，
所以 取
0
| | 1
11
1
b
x
a
，则
0
( ) 0fx
，不合题意；
（ii）若
10a
，即
1a
时，
( ) 0fx
，
()fx
在
R
上单调递增，
若不等式
1
( ) e 0
x
f x b
恒成立，则
0b
，
所以
0
b
a
，即
b
a
的最小值为 0；
（iii）若
10a
，即
1a
时，
令
( ) 0fx
，解得
ln( 1) 1xa
，
令
( ) 0fx
，解得
ln( 1) 1xa
，
所以
()fx
在
( ln( 1) 1)a ，
上单调递减，
在
(ln( 1) 1 )a ，
上单调递增；
若不等式
( ) 0fx
恒成立，
- 5 -
则
(ln( 1) 1) 2( 1) (1 )ln( 1) 0f a a a a b
，
即
2(1 ) ( 1)ln( 1)b a a a
，
所以
2(1 ) ( 1)ln( 1)b a a a
aa
；
设
1 ( 0)a t t
，则
2(1 ) ( 1)ln( 1) (ln 2)
1
a a a t t
at
，
设
(ln 2)
( ) ( 0)
1
tt
g t t
t
，则
2
ln 1
()
( 1)
tt
gt
t
，
所以 当
(0 1)t ，
时，
( ) 0gt
，
()gt
单调递减；
当
(1 )t ，
时，
( ) 0gt
，
()gt
单调递增；
所以
( ) (1) 1g t g
，此时
2a
；
即
b
a
的最小值为
1
；
综上所述
b
a
的最小值为
1
．
（1）由题意可知 圆
M
的圆心为
(1 0)，
，半径为 4，
因为线段
PN
的垂直平分线交线段
PM
于点
Q
，
所以
| | | |QP QN
，
所以
| | | | | | | 4QN QM QP QM
，
又因为
| | 2 4MN
，
所以
Q
的轨迹是以
NM，
为焦点的椭圆，
设
22
22
1( 0)
xy
ab
ab
，则
2 1 3a c b ， ，
，
所以 点
Q
的轨迹方程为
22
1
43
xy
．
（2）（i）若两条直线斜率均存在，
设过点
E
的弦所在直线
1
l
的方程为
1( 0)x t y t
，代入椭圆方程联立得：
22
(3 4) 6 9 0t y ty
，设
1
l
与椭圆两交点的坐标分别为
1 1 2 2
( ) ( )x y x y， ， ，
所以
12
2
6
34
t
yy
t
，所以
2
3
34
E
t
y
t
，
则
22
34
1
3 4 3 4
E
t
xt
tt
；
同理
2
22
43
3 4 3 4
FF
tt
xy
tt
，
；
由对称性可知
EF
所过定点必在
x
轴上，设为
0
( 0)Tx，
，
- 6 -
显然
ET TF
，所以
2
00
2 2 2 2
4 3 3 4
( ) ( )
3 4 3 4 3 4 3 4
t t t
xx
t t t t
，
化简得
22
0
4(1 ) 7 (1 )t x t
，即
0
4
7
x
；
（ii）若其中一条直线斜率不存在，则直线
EF
为
x
轴；
综上 直线
EF
必过定点
4
( 0)
7
T ，
；
取点
N
与点
T
的中点为
G
，则
11
( 0)
14
G ，
，
因为
NH EF
，所以
0NH TH
，
所以 点
H
在以
G
为圆心，
3
| | | |
14
GT GH
为半径的圆上运动，
所以
存在定点
G
，使得
||GH
为定值．
