凸显数学思维价值，培养数学思维能力
——《二项式定理》教学思考与建议
张松年
(
南京市金陵中学 江苏南京
210005)
摘要：数学是一门严谨的科学．数学思维是严密的、有序的．数学教学应重视数学思维教育，
高中数学课堂教学过程中，应给学生留足思维的空间，提供发展数学思维的机会，培养学
生的数学思维能力．
关键词：数学思维价值、数学思维能力、数学思维教育、二项式定理、合情推理、演绎推理．
引言 普通高中数学课程标准指出：“数学在形成人类理性思维和促进个人智力发展
的过程中发挥着独特的、不可替代的作用．数学是人类文化的重要组成部分，数学素质是公
民所必须具备的一种基本素质．”“高中数学课程对于认识数学与自然界、数学与人类社会
的关系，认识数学的科学价值、文化价值，提高提出问题、分析和解决问题的能力，形成理
性思维，发展智力和创新意识具有基础性的作用．”这表明：数学价值包括思维价值、应用
价值、文化价值等多个方面，而思维价值又是数学的核心价值，是数学学科独有的价值；数
学教学要培养学生多种能力，而最终都可以归结为数学能力，或者说，数学思维能力是数
学能力的核心，这是数学教学的核心．
就中学数学教学而言，如何在课堂教学中凸显数学思维价值，培养数学思维能力，应
是每一个中学数学教师必须思考的问题．本文以《二项式定理教学》教学为例，对这个内容
的学习进行分析，并结合具体的教学案例提出教学建议．
一、凸显数学思维价值
1
．数学思维价值
数学思维的价值是给每一个普通人以数学的意识，能够发现周围世界存在的客观规律．
当他面对生活和工作中的事情时，能从数学的角度进行思考，制订切实可行的计划，提出
合理的建议．面对于现实中的许多事情，有的人总是能善于概括和总结，事半功倍地处理
就是得益于长期数学思维的结果．
数学教育的目的之一是通过对概念的抽象性、推理的严密性和理论的的应用性来培养人
的理性精神、思维品格、思辨能力，启迪人的智慧，开发潜在的创造力．数学是思维的体操，
到了高中，很多数学问题都可以根据某些假设，用逻辑的推理得到结论；能从一些特殊的
事例中，发现一般的规律，找到一些内在的关系，并可以对总结出的结论，按照一定的程
序，丝丝入扣地给以证明，甚至列出等式，对未知的对象进行求解．这一切，都是反映数
学思维的价值．学习数学，就是要学会逻辑地观察、分析、思考问题，使人有条理地按照事
物发展的逻辑顺序处理问题，有条不紊地安排工作和生活．
数学的思维价值主要体现在下列几个方面：
(1)
从知识和工具的角度来看，数学是认识自然的基础，是科学研究的工具和交流载体；
(2)
从思想和方法的角度来看，数学促进了近代科学的高速发展．逻辑证明和公理化体
系已经成为任何一门学科数化自身体系的普遍思想，甚至影响到人文、社会科学领域．
(3)
从精神层面上来看，数学是人类从事实践活动的行为意识、思维活动和心理状态，
是一种理性的探索精神，是一种对完美愿望的追求．
恩格斯说：数学是研究现实世界中的数量关系和空间形式的科学．数学研究的基本对
象就是“数”和“形”，数学研究的基本内容是数量的和空间的关系和形式．数学的思维
把实际问题转化为数学问题；数学的知识和方法，有助于迅速、准确地解决；用数学的眼光
看世界、处理问题，就是从思维的层面理解、领悟数学的内容、意义和方法，在实践中自觉用
数学的思维和方法思考问题、分析解决问题．数学作为推理工具的作用是巨大的．特别是对
由于技术条件限制暂时难以观测的感性经验以外的客观世界，推理更有其独到的功效．
一方面，高中数学应努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质，注意对数学本
质的形式化刻画．形式化是数学的基本特征之一，适度的形式化更有利于认识数学的本质
因此，在数学教学中，学习形式化的表达是一项基本要求。
另一方面，数学教学要讲逻辑推理，更要讲道理，通过典型例子的分析和学生自主探
索活动，使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程，体会蕴涵在其中的思想方法，追寻数
学发展的历史足迹，把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态。
2
．教材中二项式定理的内容分析与数学思维的价值
《二项式定理》是苏教版选修
2
－
3
第一章“计数原理”第
5
节的第 1 课，是初中数学中
多项式乘法的继续，是高中数学中两个基本计数原理的应用．教材在完全平方公式
(a
＋
b)
2
＝
a
2
＋
2ab
＋
b
2
的基础上，通过对等式“
(a
＋
b)
3
＝
a
3
＋
3a
2
b
＋
3ab
2
＋
b
3
”，“
(a
＋
b)
4
＝
a
4
＋
4a
3
b
＋
6a
2
b
2
＋
4ab
3
＋
b
4
”的观察，提出核心问题“你能写出
(a
＋
b)
n
(n∈N*)
的展开式
吗？”给学生提供思维的空间．
(1)(a
＋
b)
n
(n∈N*)
能展开吗？怎么展开？
(2)(a
＋
b)
n
(n∈N*)
的展开式有多少项？你是怎么发现的？
(3)(a
＋
b)
n
(n∈N*)
的展开式中各项的次数有什么特点？你是怎么发现的？
(4)(a
＋
b)
n
(n∈N*)
的展开式中各项的系数有什么特点？你是怎么发现的？
(5)
对于上面的几个问题，你遇到困难了吗？对于
(a
＋
b)
n
(n∈N*)
的展开式，还可以怎
么理解？
现代数学的发展表明，数学教学要倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等学习
数学的方式，这些方式有助于发挥学生学习的主动性，使学生的学习过程成为在教师引导
下的“再创造”过程．
二、培养数学思维能力
1
．数学思维能力
课程标准指出“高中数学课程应注意提高学生的数学思维能力，这是数学教育的基本
目标之一。人们在学习数学和运用数学解决问题时，不断地经历直观感知、观察发现、归纳类
比、空间想像、抽象概括、符号表示、运算求解、数据处理、演绎证明、反思与建构等思维过程。
这些过程是数学思维能力的具体体现，有助于学生对客观事物中蕴涵的数学模式进行思考
和做出判断。数学思维能力在形成理性思维中发挥着独特的作用。”数学来自于实践，从林
林总总的现象中抽象出本质，并对抽象出的结论进行逻辑论证．抽象是人类创造性思维的
最基本特征，而数学每前进一步，都离不开严密的逻辑推理．推理的严密性在数学的发展
过程中不可或缺．推理一般包括合情推理和演绎推理．合情推理是根据已有的事实和正确
的结论、实验和实践的结果及个人的经验和直觉等推测某些结论的推理过程．演绎推理是根
据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程．
2
．教材中《二项式定理》可以实现的思维能力培养的内容分析
说实在的，学生对
(a
＋
b)
n
(n∈N*)
的展开式中会出现多少项，每一项的次数等是比较
容易发现的，但对于每一项的系数是什么就不易发现了．
教材从
(a
＋
b)
2
，
(a
＋
b)
3
的展开式中每一项是如何得到的入手，对难点进行突破，指
出：由于
(a
＋
b)
2
＝
(a
＋
b)(a
＋
b)
，所以
(a
＋
b)
2
的展开式中的每一项都是从两个括号中各
取一个字母的乘积；由于
(a
＋
b)
3
＝
(a
＋
b)(a
＋
b)(a
＋
b)
，所以
(a
＋
b)
3
的展开式中的每一
项都是从三个括号中各取一个字母的乘积．当然，这样得到的项有同类项．通过合并同类
项，就得到了相应的展开式．在此基础上，通过类比，得到：一般地，对任意的
n∈N*
，
由于
(a
＋
b)
n
＝
(a
＋
b)(a
＋
b)
…
(a
＋
b)
，所以
(a
＋
b)
n
的展开式中的每一项都是从
n
个括号
中各取一个字母的乘积，如果取了
r(r
＝
0
，
1
，
2
，…
n)
个
b
，即从
n
个括号中选取了
r
个括号，每个括号中取
b
，那么必定从余下的
n
－
r
个括号中都取
a
，这样形成的项就为
a
n － r
b
r
．由于这样的取法共有
C
r
种，所以
a
n － r
b
r
共有
C
r
个，表明
(a
＋
b)
n
的展开式中，
a
n －
r
b
r
的系数为
C
r
，从而得到了二项式定理：
(a
＋
b)
n
＝
C
0
a
n
＋
C
1
a
n－1
b
＋…＋
C
r
a
n－r
b
r
＋…＋
C
n
b
n
，其中
n∈N
*
．右边的多项式叫做
(a
＋
b)
n
的二项展开式，式中的
C
r
a
n－r
b
r
叫做二项展开
式的通 项，用
T
r
＋
1
表示， 即 展开式 的 第
r
＋
1
项：
T
r+1
＝
C
r
a
n － r
b
r
，其中 的系数
C
r
(r
＝
0
，
1
，
2
，…，
n)
叫做二项式系数．
教材中对二项展开式的探求过程，从特殊到一般，将合情推理(归纳与类比)和演绎推
理有机地结合起来，既让学生感受了数学研究与发现的过程，又培养了学生严谨的学习态
度和锲而不舍的数学理性精神，激发了他们学习数学的动力．
归纳、类比是合情推理常用的思维方法，其中归纳推理是通过个体认识整体，类比推理
是通过对一个个体的认识去猜想另一个个体的特征．在解决问题的过程中，合情推理具有
猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养．合情推理和演绎推理之
间联系紧密、相辅相成，对培养人的发散性思维和创造性思维具有重要的作用，人类的发明
创造始于感性的发散性思维，止于理性的收敛性思维．归纳与类比是人类探索世界、发现新
事物的重要手段，许多重要的猜想都是通过归纳与类比而提出的．因此，培养和提高学生
的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的重要目标．
三、课堂教学思考与建议
辩证法认为，一般性寓于特殊性之中．特殊与一般反映了世界万物普遍联系的客观规
律，同时也是人们的思维规律，是人们认识世界的重要的思维形式．在数学教学中，运用
这一思维形式对培养学生的数学思维能力有着十分重要的意义．数学思维能力的培养要做
到归纳和演绎的统一．柏拉图说“数学更高的价值在于培养纯粹的思维能力，启发人们向
往理念的端倪，便于将灵魂从变化世界转向真理的实在．”
1
．二项式定理的教学思考
在实际教学过程中，学生很难把本文在“二项式定理的内容分析与数学思维的价值”
中提出的几个问题联系起来回答，对于问题
(1)
的回答必定是 “能，用多项式的乘 法展
开”，这种回答是基于他们对 “幂”的意义的理解，而对于问题
(2)
的回答必定是“
n
＋
1
项，通过观察、归纳得到”，对于问题
(3)
的回答必定是“都是
n
次，通过观察、归
纳得到”，但对于问题
(4)
的回答急救不会那么直接了，学生的初衷会找出这些系数与指
数的关系，是很难一下子说清楚的．也许有的学生会从
n
＝
2
，
3
，
4
时的展开式是按照
a
的
降幂方式
(
或
b
的升幂方式
)
呈现的前提下，发现
(a
＋
b)
3
＝
(a
＋
b)
2
(a
＋
b)
＝
(a
2
＋
2ab
＋
b
2
)
(a
＋
b)
＝
a
3
＋
3a
2
b
＋
3ab
2
＋
b
3
，其中的项
a
2
b
可由第一个括号中的
2ab
与第二个括号中
的
a
相乘得到得，也可以由第一个括号中的
a
2
与第二个括号中的
b
相乘得到得，从而
a
2
b
的系数为
2
＋
1
＝
3
，…；
(a
＋
b)
4
＝
(a
＋
b)
3
(a
＋
b)
＝
(a
3
＋
3a
2
b
＋
3ab
2
＋
)(a
＋
b)
＝
a
4
＋
4a
3
b
＋
6a
2
b
2
＋
4ab
3
＋
b
4
，其中的项
a
3
b
可由第一个括号中的
3a
2
b
与第二个括号中的
a
相乘得到得，也可以由第一个括号中的
a
3
与第二个括号中的
b
相乘得到得，从而
a
2
b
的系数为
3
＋
1
＝
4
，…，这样下去，会得到后面将要学习的“杨辉三角”，学生会感
觉到有这一种规律的存在，但无法用具体的数学语言或符号表达出来．问题
(5)
就是让
学生换个角度思考问题．往往孤立地对每个终端对象
(
在这里是展开式
)
的观察往往是
表面的、肤浅的，而对对象产生的过程
(
在这里是每一项的形成
)
进行观察、分析，看到
的是本质．只有找到项的形成方式：由于
(a
＋
b)
n
＝
(a
＋
b)(a
＋
b)
…
(a
＋
b)
，所以
(a
＋
b)
n
的展开式中的每一项都是从
n
个
(a
＋
b)
中各取一个字母的乘积，才能发现
(a
＋
b)
n
的展
开式中共有
2
n
项，每一项的次数都是
n
，其中有些项是同类项，
a
n －r
b
r
(r
＝
0
，
1
，
2
，…
n)
可以看作是从
n
个
(a
＋
b)
中选取了
r
个
(a
＋
b)
，每个
(a
＋
b)
中取
b
，从余下的
n
－
r
个
(a
＋
b)
中都取
a
，经过乘积而得，这样的取法共有
C
r
种，所以
a
n －r
b
r
的系数就是
C
r
．
如果按照
b
的升幂这一规则排列，那么
(a
＋
b)
n
的展开式的表达方式就是唯一的、确
定的，就不可能产生歧义或其他理解，就成了定理，从而
C
r
就反映二项式
(a
＋
b)
n
的展开
规律，才称为“二项式系数”．
二项式定理的本质是一个数可以有两种不同形式的表达：幂的形式和多项式的形
式，简单地说，就是“算两次”．尽管表达形式不同，但数值始终相等．根据二项式
定理，不但可以求出
(a
＋
b)
n
的展开式，而且可以直接写出某个特定的项． 爱因斯坦就
曾经说过“政治是暂时的，而方程式是永恒的”．
2
．数学思维教学的价值
李兴旺老师的《二项式定理》的教学，较好地体现了教学目标的要求，将发展学生的数
学思维提到了一个相当的高度，教学过程中为学生设置了许多合理的、有助于学生思维发展
的台阶，教学效果也是明显的，从学生的反应来看，学生对二项式定理本质的认识已基本
到位，对二项式定理的特征也基本掌握，并能用来解决一些一些简单的问题，为进一步的
学习打下了基础．但也要注意，台阶设置得过多、过细，往往会影响学生思维水平的提高和
思维能力的发展．教学中应多给学生留一点思维的空间，给学生多一点尝试的机会，让他
们跳一跳能够达到一个更高的层次．总而言之，教学过程中，应重视数学思维的教育．
数学思维的教育意义，不是为了培养数学家，而是在于培养人的数学观念和理性精神，
为每一个未来公民的发展打基础；在于数学学习可以培养人积极地寻找、概括一定范围内的
事物的共同特征或一定阶段内事物变化规律的意识；在于培养人的本质地看问题的意识，
从一定的角度把事物的相关的质提取出来；在于培养人的良好思维习惯，形成良好的思维
策略，增强人的反应能力．
数学思维教育就是要为学生创造最能激发思维的情境，促使学生开展循序渐进、不断深
入地高效率、大容量的思考，促进学生数学地对待问题，使理性思维得到健康发展．
在数学课堂上，如何拓展学生的数学观念，如何有效地促成学生的数学思维，培养学
生思维的深刻性、广阔性、独创性，训练学生的抽象思维能力和形象思维能力是十分重要的．
所以在设计课堂时，如何有效利用教材等相关教学资源，扩展数学思维的价值，需要教师
作出思考和选择．
参考文献：
[1]
普通高中数学课程标准
[S]
．人民教育出版社，
2003
．
[2]
单尊．普通高中数学课程标准实验教科书
·
选修
2
－
3[M]
．江苏教育出版社，
2012
．