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§3 .1.2 独立性检验(2) 教学设计
南京市金陵中学 王泽扬
2021 年 3 月 9 日
教学目标：
1．基于 2×2 列联表，通过对典型案例的探究，了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检
验的基本步骤，会用独立性检验解决简单的实际问题，提升数据分析能力．
2．经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其中的基本方法．
教学重点：临界值表的理解、独立性检验的简单应用．
教学难点：对独立性检验的理解、独立性检验的简单应用．
教学过程：
一､复习回顾
上一节课，我们研究了两个分类变量之间的关系，我们以生活中的一个案例：两个现象
患呼吸道疾病与吸烟之间是否有关进行了一些研究．让我们一起来回顾一下：同学们，我们
是怎么研究的?研究了什么呢?
【流程图 1：环节 1】首先，我们基于科学的手段合理的抽样､收集了有关数据，对数据
做了一个统计，并形成了一张 2×2 列联表．
【流程图 2：环节 2】根据这些数据，我们想知道：这两个现象患呼吸道疾病与吸烟之
间究竟有没有关系呢?我们是如何研究的呢?
我们拿它跟一个理想状态下的情形做一个对比．什么是理想状态呢?就是我们的假设 H
0
．
假设 H
0
：患呼吸道疾病与吸烟没有关系．
在假设两者无关的情况下，我们找到理想状态下的 2×2 列联表的，叫做估计值，我们
想知道观测值与估计值之间，到底差距大还是不大，我们找到了用于比较观测值与估计值之
间的一个“距离(distance)”，这个“距离”最后就是我们找到的最科学的､用于两个现象有没
有关系的统计量——χ
2
．
对于 2×2 列联表，χ
2
的计算公式是
χ
2
＝
(a－
(a＋b)(a＋c)
n
)
2
(a＋b)(a＋c)
n
＋
(b－
(a＋b)(b＋d)
n
)
2
(a＋b)(b＋d)
n
＋
(c－
(c＋d)(a＋c)
n
)
2
(c＋d)(a＋c)
n
＋
(d－
(c＋d)(b＋d)
n
)
2
(c＋d)(b＋d)
n
，
即
χ
2
＝
n(ad－bc)
2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中 n＝a＋b＋c＋d．
上一节课我们已经知道，基于抽样的这组实际数据与理想数据之间的“距离”如果越大，
即 χ
2
越大，就说明两个现象有关的可能性越大；如果基于抽样的这组实际数据与基于假设
独立的这组理想数据，他们之间的“距离”χ
2
越小，那么说明两个现象没有关系，即独立的
可能性更大．
那么究竟有多大的把握说这两个现象有关呢?我们需要进行判断．
我们应该如何判断呢?
下面我们就一起来探讨一下如何做出判断．
设计意图 回顾上节课的内容．由于独立性检验的知识较难理解，所以希望学生回忆上节课
的引例，结合引例，用自己的语言谈一谈对独立性检验的前 3 个步骤的理解．接
下来的学生活动与数学建构，就围绕进行判断而展开．
二､数学建构
【流程图 3：环节 3】判断．
上节课，我们根据基于抽样的这组实际观测数据，利用 χ
2
的计算公式，得到
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χ
2
＝
515×(37×274－183×21)
2
220×295×58×457
≈11.8634． (1)
下面我们要进行判断：这个值是大还是小呢?大家觉得是大还是小?
实际上，在统计学中，就在大约 100 多年前，数学家们已经经历了严密且科学的研究，
得到了明确的结论：
在假设 H
0
成立的条件下，随机事件“χ
2
≥6.635”发生的概率约为 0.01，即
P(χ
2
≥6.635)≈0.01． (2)
这句话是什么意思呢?
也就是说，在假设 H
0
成立的条件下，对统计量 χ
2
进行多次测量，基于抽样所得数据算
出的观测值超过 6.635 的频率约为 0.01．
现在的 χ
2
＝11.8634，大于 6.635．
由(2)式可知，出现这样的观测值 χ
2
的概率至多为 0.01．
所以至多有 1%的把握认为假设 H
0
是成立的，
即至多有 1%的把握认为患呼吸道疾病与吸烟无关．
所以，至少有 99%的把握认为患呼吸道疾病与吸烟有关系．
问题 2 在上述判断过程中，判断的依据是什么?
随机事件“χ
2
≥某临界值 x
0
”发生的概率，与对应的临界值 x
0
．
问题 3 一般地，要想至少有 99%的把握认为两个现象 I 和 II 有关系，判断的依据是什么？
这个把握的依据，就是
P(χ
2
≥6.635)≈0.01，
P(χ
2
≥x
0
)
0.010
x
0
6.635
只要观测值 χ
2
＞6.635，我们就有 1%的把握认为患呼吸道疾病与吸烟无关，
从而有 99%的把握认为患病与吸烟有关．
设计意图 从特殊到一般，再从一般回到特殊，使学生理解判断的依据是什么．这里要将假
设 H
0
成立，转化为统计量 χ
2
的值，而判断的依据，在于明确把握度是多少，从
而找到对应的临界值，将基于这组数据所得的 χ
2
的值与临界值 x
0
进行比较．学
生不易理解的难点．
问题 4 能否至少有 99.9%的把握认为患病与吸烟有关?判断的依据是什么?怎样做出判断?
需要找到一个新的临界值 x
0
，使得 P(χ
2
≥x
0
)≈0.1%，让 χ
2
与这个 x
0
比较．
数学家们又进行了科学的研究，得出：
若随机事件“χ
2
≥x
0
”发生的概率为 0.1%，则临界值 x
0
约为 10.828．
P(χ
2
≥x
0
)
0.010
0.001
x
0
6.635
10.828
这样，我们只要将观测值 χ
2
与 10.828 比较，就可以像前面那样，作出判断了．
继续完成 问题 4 能否有 99.9%的把握认为患病与吸烟有关系?你的理由是什么?
生 ∴χ
2
＝11.863 4＞10.828．
因为当 H
0
成立时，P(χ
2
≥10.828)≈0.001，
所以至多有 0.1%的把握认为假设是成立的，
即至多有 0.1%的把握认为患病与吸烟无关，
所以，至少有 99.9%的把握认为“患病与吸烟有关系”．
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在许多社会学或科学问题中，有的时候把握可能不需要那么大，可能有时 99.5%，97.5%，
95%，甚至 90%就够了．
那么我们又该将观测值 χ
2
与哪些临界值 x
0
进行比较呢?
P(χ
2
≥x
0
)
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
6.635
10.828
数学家们将常用的把握的情形所对应的随机事件“χ
2
≥x
0
”发生的临界值 x
0
，列成了一张
表，称为临界值表．
表 临界值表
P(χ
2
≥x
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
查对临界值表，我们就能作出相应的判断：到底有多大的把握认为两个现象之间有关系．
设计意图 理解临界值表的含义，了解临界值表的意义与必要性，知道这是我们进行独立性
检验的依据与参照．临界值表的得出是无法通过目前现有知识让学生知悉缘由的，
需要今后在大学中学习、研究．
问题 5 小结：推断两个分类变量“Ⅰ和Ⅱ有关系”的一般步骤是什么？
第一步 基于科学的手段，合理地抽样、收集数据；
数学地整理数据——得到 2×2 列联表；
Ⅱ
类 1
类 2
合计
Ⅰ
类 A
a
b
a＋b
类 B
c
d
c＋d
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
第二步 提出假设 H
0
：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；
第三步 根据 2×2 列联表和公式计算 χ
2
统计量：
χ
2
＝
n(ad－bc)
2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中 n＝a＋b＋c＋d；
第四步，查对临界值表，作出判断：
P(χ
2
≥x
0
)
0.50
0.40
0.25
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
0.455
0.708
1.323
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
例如：
(1)若 χ
2
＞10.828，则有 99.9%的把握认为“Ⅰ和Ⅱ有关系”；
(2)若 χ
2
＞6.635，则有 99%的把握认为“Ⅰ和Ⅱ有关系”；
(3)若 χ
2
＞2.706，则有 90%的把握认为“Ⅰ和Ⅱ有关系”；
(4)若 χ
2
≤2.706，则认为没有充分的证据显示“Ⅰ和Ⅱ有关系”，但也不能作出结论“H
0
成立”，即Ⅰ和Ⅱ没有关系．
注 利用 χ
2
进行独立性检验，可以对推断的正确性的概率作出估计，观测数据 a，b，c，d
取值越大，效果越好．在实际应用中，通常要求 a，b，c，d 均不小于 5，这样近似的效果才
可接受．
设计意图 回顾上节课的内容．由于独立性检验的知识较难理解，所以希望学生回忆上节课
的引例，结合引例，用自己的语言谈一谈对独立性检验的三个步骤的理解．接下
来的数学应用和学生活动，就围绕检验学生是否理解而展开．
三、数学应用
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例 1 在 500 人身上试验某种血清预防感冒的作用，把他们一年中的感冒记录与另外 500 名
未用血清的人的感冒记录作比较，结果如表所示．问：能否有 99%的把握认为该种血清能否
起到预防感冒的作用？
未感冒
感冒
合计
使用血清
258
242
500
未使用血清
216
284
500
合计
474
526
1000
参考公式：独立性检验统计量 χ
2
＝
n(ad－bc)
2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，其中 n＝a＋b＋c＋d．
下面的临界值表供参考：
P(χ
2
≥x
0
)
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
x
0
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
分析 在使用该种血清的人中，有
242
500
＝48.4%的人患过感冒；在没有使用该种血清的人中，
有
284
500
＝56.8%的人患过感冒，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患病率相差较大．从
直观上来看，使用过血清的人与没有使用过血清的人的患感冒的可能性存在差异．
解 提出假设
H
0
：感冒与是否使用该种血清没有关系．
由列联表中的数据，求得
χ
2
＝
1000×(258×284－242×216)
2
474×526×242×500×500
≈7.075＞6.635．
因为当 H
0
成立时，“χ
2
≥6.635”的概率约为 0.01，
所以至少有 99%的把握认为：该种血清能起到预防感冒的作用．
设计意图 作为范例，使学生熟悉独立性检验的步骤，学会根据观测值 χ
2
的值大于临界值
x
0
，得出结论：有多大的把握认为Ⅰ与Ⅱ有关．
四、学生活动
数学建模与探究 现场调查：在高二 12 班中的你，________________________吗？
合计
男生
女生
合计
根据表中数据，能否作出高二 12 班的同学___________________与性别有关的结论？
设计意图 设计开放性的数学探究，如果课上时间允许，那么请同学们展开探究与讨论；如
果时间不允许，那么留作课后探究任务．
五、回顾反思
本节课我们学习了：
1．独立性检验的思想方法及与反证法的关系、独立性检验的一般步骤．
第一步，提出假设 H
0
：两个分类变量Ⅰ和Ⅱ没有关系；
第二步，写出 2×2 列联表：
Ⅱ
类 1
类 2
合计
Ⅰ
类 A
a
b
a＋b
类 B
c
d
c＋d
5 / 5
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d
计算
χ
2
＝
n(ad－bc)
2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
(其中 n＝a＋b＋c＋d)；
第三步，查对临界值表，作出判断．
2．经独立性检验，两个事件有关，并不一定说：一个事件发生，另一个事件也发生．
六、回顾与小结 通过本节课的学习，你有哪些收获？
我们知道：统计基本的思想是用样本估计总体．常见的有两种推断方法．
第一种是统计估计的推断方法：根据收集到的样本数据，我们可以用样本数据的均值和
方差，分别估计总体的均值与方差；利用最小二乘法的思想，估计一元线性回归模型中的参
数，求出线性回归方程，等等．
第二种基本而重要的推断方法，就是假设检验．独立性检验是其中一种常用的方法．要
想更进一步地了解这种方法的奥秘，数学将会在大学与你相遇．
七、课外作业：
P
93
：习题 3．1——1，2．
八、板书设计