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山东省春季高考济南市模拟考试(2022 年 1 月)
数学试题答案
一、选择题：（每小题 3 分）
题号
1
2
3
4
5
7
8
9
10
答案
D
B
C
D
A
C
B
D
A
题号
11
12
13
14
15
17
18
19
20
答案
A
B
C
C
C
A
D
D
D
二、填空题：（每小题 4 分）
21．－x
2
－4x
22.
7
4
23. ①②③⑤
24．－2
25．
2－ 2
2
三、解答题：
26．解：（1）当 m≥0 时，f(m)＝m
2
－5＝4
解得 m＝3 或 m＝－3(舍去） ………………………1 分
当 m＜0 时，f(m)＝m＋6＝4
解得 m＝－2 ………………………2 分
∴m 的值为 3 或－2 ………………………3 分
（2）对任意实数 a∈R,－a
2
－1＜0 ………………………4 分
∴f(－a
2
－1)＝ －a
2
－1＋6＞1
a
2
＜4
解得 －2＜a＜2 ………………………5 分
∴a 的取值集合是{x│－2＜a＜2} ………………………6 分
27．解：（1）设六年每一年出产鸡的只数分别为 a
1
，a
2
，…，a
6
，
由题设条件知{a
n
}（n＝1，2，…，6）成等差数列，且 a
1
＝1，a
6
＝2，
∴公差 d＝
2－1
6－1
＝0.2，
∴a
2
＝1.2，即第二年每个鸡场平均出产 1.2 万只鸡．………………………………2 分
设六年中每一鸡场的个数为：b
1
，b
2
，…b
6
，
由题设条件知：{b
n
}(n＝1，2，…，6)成等差数列，且 b
1
＝30，b
6
＝10，
∴公差 d
′
＝
10－30
6－1
＝－4，
∴第二年有鸡场 b
2
＝30－4＝26 个．
∴第二年全县出产鸡的总数为：1.2×26＝31.2 万只．………………………………4 分
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（2）∵a
n
＝a
1
＋(n－1)d＝
4＋n
5
，b
n
＝b
1
＋(n－1)d
′
＝－4n＋34，
∴a
n
b
n
＝
4＋n
5
(34－4n)＝(－n
2
＋
9n
2
＋34)×
4
5
，由于 n∈N， …………………………6 分
∴当 n＝2 时，a
n
b
n
的值最大，最大值为 a
2
b
2
＝31.2 万只．…………………………8 分
28 解：(1)函数 f(x)＝2sin(
π
4
－x)cos(
π
4
－x)－cos (
π
3
＋2x)
＝sin(
π
2
－2x)－(cos
π
3
cos2x－sin
π
3
sin2x)
＝cos2x－
1
2
cos2x＋
3
2
sin2x ………………………………2 分
＝
3
2
sin2x＋
1
2
cos2x
＝sin(2x＋
π
6
)
∴T＝
2π
2
＝π． ………………………4 分
∴函数的最小正周期为 π．
(2) f(
C
2
)＝ sin(C＋
π
6
)＝1
∵0＜C＜
π
2
，所以解得 C＝
π
3
. ……………………………………6 分
又∵c
2
＝ab＝a
2
＋b
2
－2abcosC＝a
2
＋b
2
－ab
∴(a－b)
2
＝0，即 a＝b.
∴△ABC 是正三角形． …………………………………………8 分
29.（1）证明：连接 PD，
∵ AD＝2，PA ＝1，∠PAD＝60°
∴由余弦定理 PD
2
＝3
PD＝ 3 ……………………1 分
AP
2
＋PD
2
＝
AD
2
∴AP⊥PD
又 AP⊥BC ……………………3 分
∵PD∩BC
＝
D
∴AP⊥平面 PBC ……………………4 分
（2）解：作 PO⊥AD，交 AD 于点 O，
由 BC⊥AD ，AP⊥BC，AD∩AP
＝
A
∴BC⊥平面 PAD
BC⊥OP
又 AD∩BC
＝
D
∴OP⊥平面 ABC
P
A
B
C
D
O
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OP＝
AP·PD
AD
＝
3
2
…………………………6 分
∵BC ＝2, AD＝2
S
△
ABC
＝
1
2
AD·BC ＝2
则 V
P
－
ABC
＝
1
3
S
△
ABC
·OP ＝
3
3
…………………………8 分
30.解：（1）设椭圆短轴上两个端点为 B
1
（0，－b）， B
2
（0，b）
∵点 M(1，0)与椭圆短轴的两个端点的连线互相垂直
∴B
1
M
→
＝（1，－b）， B
2
M
→
＝（0，b）
B
1
M
→
·B
2
M
→
＝0，
1－b
2
＝0
b
2
＝1 ………………………2 分
F
1
（－ 2，0），F
2
（ 2，0）
c＝ 2
a
2
＝3
∴椭圆的方程为
x
2
3
＋y
2
＝1 ………………………4 分
(2)设过点 M(1，0)，斜率 k 存在的直线方程为 y＝k (x－1)
设 A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)，
由 N (3，2)
∴k
1
＝
y
1
－2
x
1
－3
，k
2
＝
y
2
－2
x
2
－3
k
1
＋k
2
＝
y
2
－2
x
2
－3
＋
y
1
－2
x
1
－3
＝
2kx
1
x
2
－(4k＋2)(x
1
＋x
2
)＋6(k＋2)
x
1
x
2
－3(x
1
＋x
2
)＋9
………………6 分
解方程组
y
＝
k(x－1)
x
2
3
＋y
2
＝1
消去 y 得（1＋3k
2
）x
2
－6k
2
x＋3k
2
－3＝0
解方程组 Δ＝(6k
2
)
2
－4（1＋3k
2
）(3k
2
－3k
4
) ＝24k
2
＋12＞0，
∴x
1
＋x
2
＝
6k
2
1＋3k
2
，． x
1
x
2
＝
3k
2
－3
1＋3k
2
…………………8 分
∴k
1
＋k
2
＝
24k
2
＋12
12k
2
＋6
＝2 ……………………9 分
过点 M(1，0)，斜率 k 不存在的直线方程为 x＝1，与椭圆的交点分别为 A(1，
6
3
)，B(1，－
6
3
)
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k
1
＋k
2
＝2
综上所述：k
1
＋k
2
为定值 2 ………………………10 分