谈谈数学探究活动
南京市金陵中学 张松年
zhsnpine@sina．com
概念解读
案例解说
CONTENT
目 录
反思解困
一、概念解读
1．数学探究和数学探究活动
• 数学探究是对特定的对象或事实进行观察、探究，发现结论或提出
猜想，并用数学的方法去求解或认证，它的过程是：从对象事实进
行观察、探究、发现、猜想、求解、认证．它的结论是确定的，如：
等差数列的前项n和．
• 数学探究活动是围绕某个具体数学问题开展自主探究、合作研究，
并最终解决问题的过程，即“数学问题→自主探究→合作研究→解
决问题”．它的结论可以是多样的．如：关于x的方程a
x
＝log
a
x的
解的个数．
2．数学探究活动的具体表现：
• 发现和提出有意义的数学问题；
• 猜测合理的数学结论；
• 提出解决问题的思路和方案；
• 通过自主探索、合作研究，论证数学结论．
3．数学探究活动的基本特征：
• 基于数学问题；
• 以课题形式展开；
• 综合性实践活动；
• 自主探究，合作研究，相互交流；
• 探究成果呈现多样；
• 落实“四基”，提升“四能”，发展“素养”．
一、概念解读
4．数学探究活动与数学探究的关系
• 数学探究一般包括“观察探究→发现猜想→求解论证”三个过程，它
可以是一堂课中的一个环节，也可以是一个综合实践活动．
• 数学探究活动一般包括“选题→开题→做题→结题”四个阶段，是由
数学探究、合作交流完成的数学内部的活动，课内外都可以进行.
• 数学课一定有数学探究，但数学课一般不是数学探究活动课.
• 数学探究活动是数学探究的积累和综合反映．
一、概念解读
5．数学探究活动与数学建模活动
(2)选择算法的要求有区别
• 数学建模活动解决问题的算法是开放的；数学探究活动解决问题的算法是明确的．
(3)给出结论的方式有区别
• 数学建模活动所获的解，受制于所选模型与算法，与实际情况对应的解可能存在差
异；数学探究活动中所获的结论准确，与解决问题的算法无关.
一、概念解读
(1)研究问题的范畴有区别
• 数学探究活动是围绕某个数学问题自主探究、学习的过程，包括：观察分析数学事
实、提出有意义的数学问题、猜测探求适当的数学结论或规律、给出解释或证明，
如函数y＝Asin(ωx＋
)与y＝sinx图象的关系、平面截正方体的截面形状等数学内部
的问题．
• 数学建模是对现实问题进行抽象，用数学语言表达和解决问题的过程，具体表现为：
在实际情境中，从数学的视角提出、分析、表达问题，构建模型，求解结论，验证
结果，改进模型，最终得到符合实际的结果，如“潮汐现象”“体重与脉搏”“药
物在人体内的残留量”等数据拟合问题．.
6．数学探究活动的设计策略
• 探究活动的设计，要有总体的发展层次和贯通的活动主线，按“数学问
题——知识应用——思想方法——核心素养” 四个纬度做整体设计，
按“问题背景——自主探究——合作交流——解决问题”展开，并注意
建立各知识点之间的联系（这里指教材中的内容），实现整体贯通．
核心素养
思想方法
知识应用
数学问题
问题背景 自主探究
合作交流
解决问题
一、概念解读
C'
C
案例 1 已知
正四棱台 ABCD－A'B'C'D'的
上、下底面边长分别是 1
，2，
侧棱长为 2，求该正四棱台外接球的表面积．
O
O'
E
A
A'
B
D
B'
D'
二、案例解说
案例 2 设 P，A，B，C 是一个球面上的四点，若 PA＝PB＝PC＝1，
∠APB＝∠BPC＝∠APC＝θ，且 cosθ＝－
1
8
，求球的体积及 A，P 两点
间的球面距离．
A
B
C
P
A
B
C
O'C
O
P
O
二、案例解说
OA＝OP＝RPA＝PB＝ 2R，AB＝ 3R．
∵2＋2>3，∴∠APB 是锐角．
案例3 函数的不动点与用迭代法求方程的近似解．
•提出问题
对于定义在D上的函数f(x)，若存在实数x
0
，使得f(x
0
)＝x
0
，那么称x
0
是函数f(x)的一个不动点．
以“求方程lgx＝3－x的近似解”为例，从函数的不动点的角度探索
该方程的近似解．
•问题解决思路
迭代法是探求函数不动点的一种有趣方法，基本步骤是：
(1)将方程改写成x＝f(x)的形式；
解方程f(x)＝0，就是求满足等式的x的值，而方程f(x)＝0可以改成x
＝g(x)的形式，那么函数g(x)的不动点就是方程f(x)＝0的解．
(2)估计解x所在的范围，给定x的一个初值x
1
；
(3)将x＝x
1
代入f(x)得x
2
，再将x＝x
2
代入f(x)得x
3
，…，依次继续下
去，得到一组数，即x
1
→f(x
1
)＝x
2
→f(x
2
)＝x
3
→f(x
3
)＝x
4
，…
二、案例解说
如果前后两次得出的x值很接近，那么该近似值便是所求的近似
解．
在平面直角坐标系中作出函数y＝x
和y＝f(x)的图象，
x
0
y＝x
y＝f(x)
y
O
x
P
1
x
1
A
1
x
2
P
2
x
3
A
2
上述过程可直观地用图1来表示．
直线x＝x
1
与y＝f(x)的
图象交于点P
1
，
过P
1
作x轴的平行线交
直线y＝x于点A
1
，其横坐标即为x
2
，
过 P
2
作
x轴的平行线交直线y＝x于点A
2
，其横
坐标即为x
3
，
直
线x＝x
2
交y＝f(x)的图象于点P
2
，
…，如果初值选择恰当，
当n增大时，就可使点P
n
(或A
n
)趋近于直
线y＝x和y＝f(x)的图象的交点，x
n
便是
所求的近似解x
0
．
x
0
y＝x
y＝f(x)
y
O
x
图1
P
1
x
1
A
1
x
2
P
2
x
3
A
2
案例4 对于不为1的正数a，关于x的方程a
x
＝log
a
x解的个数．
二、案例解说
• 选择探究方式：研究函数y＝a
x
与y＝log
a
x图像公共点的个数．
利用 Excel、图形计算器或其他画图软件(如几何画板)，在同一坐
标系中分别就 a＝2，a＝
5
4
和 a＝
1
2
时画出函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象，
通过观察，发现：在这三种情况下，两个函数图象的交点个数分别为
0，2，1，从而方程 a
x
＝log
a
x 的解的个数分别为 0，2，1．
分别就 a＝2，a＝
5
4
和 a＝
1
2
画出函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象，
并指出两个图象公共点的个数．
• 初探
• 探究：当0＜a＜1时，方程a
x
＝log
a
x有几个解？一个吗？
几何画板演示发现：当0＜a＜1时，函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象的
交点个数可能是1，3，从而方程a
x
＝log
a
x的解的个数可能是1，3．
但问题是：这两个函数的图象到底有几个公共点？会不会有4个？
公共点个数变化时，底数a的临界值是什么？怎样找这个临界值呢？
1．几个基本结论：
1．1 函数y＝a
x
与y＝log
a
x互为函数，它们的图象关于直线y＝x对
称．如果函数y＝log
a
x的图象与直线y＝x相交，那么交点必定在函数y
＝a
x
的图象上．同样，如果函数y＝a
x
的图象与直线y＝x相交，那么交
点必定在函数y＝log
a
x的图象上．
1．2 函数y＝a
x
是下凸函数，它的图象在其任意一条切线的上方．
证 由y＝a
x
，得y'＝a
x
lna，y''＝a
x
(lna)
2
．
因为对任意的x∈R，都有a
x
＞0，且(lna)
2
＞0，所以y''＞0，
所以，函数y＝a
x
是下凸函数．
1．3 ①当a＞1时，y＝log
a
x是上凸函数，它的图象在其任意一条切
线的下方；②当0＜a＜1时，y＝log
a
x是下凸函数，它的图象在其任意
一条切线的上方．
证 由 y＝log
a
x，得 y'＝
1
xlna
(x＞0)，y''＝－
1
x
2
lna
(x＞0)．
因为对任意的x∈(0，＋∞)，都有x
2
＞0，所以
当a＞1时，有lna＞0，所以y''＜0，所以y＝log
a
x是上凸函数，
当0＜a＜1时，有lna＜0，所以y''＞0，所以y＝log
a
x是下凸函数．
2． 函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象公共点的个数情况的研究．
2.1 当a＞1时，函数y＝a
x
的图象与直线y＝x可能有公共点，也可能
没有公共点．
2.1.1 当 a＞1 时，由于方程 a
x
＝x 与 x＝log
a
x 是同解方程，所以
只要研究方程 x＝log
a
x 的解的情况，即 lna＝
lnx
x
的解的情况．
设函数 f(x)＝
lnx
x
，则 f' (x)＝
1
x
·x－lnx
x
2
＝
1－lnx
x
2
．
故当 x＝e 时，f(x)取得最大值 f(e)＝
1
e
．
2.1.1.1 当 lna＞
1
e
，即 a＞e
1
e
时，方程 x＝log
a
x 无解，
2.1.1.2 当 lna＝
1
e
，即 a＝e
1
e
时，
令f'(x)＝0，得x＝e．
当0＜x＜e时，f'(x)＜0；当x＞e时，f'(x)＞0，
从而函数的y＝log
a
x的图象在直线y＝x的下方，
函数y＝a
x
的图象在直线y＝x的上方，因此，函
数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象没有公共点．如图1．
函数y＝a
x
与
y＝log
a
x的图象有唯一公共点．如图2．
y
O
x
图1
y
O
x
图2
2.2 当0＜a＜1时，函数函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象
都与直线y＝x相交．
2.1.1.3 当 lna<
1
e
，即 1<a<e
1
e
时，
函数y ＝ a
x
与y＝log
a
x的图象恰有两个公共点．如图3．
y
O
x
图3
设函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象在直线y＝x外的2个交点为A(m，n)，B(n，m)，
则直线AB的斜率为－1．设AB的方程为y＝－x＋b，当A，B重合为点P时，AB
为函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象的公切线，且P在对称轴所在的直线y＝x上．
由 log
a
(－
1
lna
)＝－
1
lna
，得 ln(－lna)＝1，即－lna＝e，解得 a＝e
－e
．
此时，点P的坐标为(e
－1
，e
－1
)，函数y＝a
x
与y＝log
a
x图象的公切线
的方程为y＝2e
－1
－x．
2.2.1 当e
－e
≤a＜1时，函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图
象恰有一个公共点．如图4．
y
O
x
图4
2.2.2 当0＜a＜e
－e
时，函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图
象恰有3个公共点，其中一个在直线y＝x上，另2个
在直线y＝x两侧，关于直线y＝x对称．如图5．
y
O
x
图5
• 小结：函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象的交点个数与底数的关系：
3．1 当 a＞e
1
e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象无交点；
3．2 当 a＝e
1
e
或 e
－e
≤a＜1 时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有 1 个交点；
3．3 当 1＜a＜e
1
e
时，函数 y＝a
x
与 y＝log
a
x 的图象恰有 2 个交点；
3．4 当0＜a＜e
－e
时，函数y＝a
x
与y＝log
a
x的图象恰有3个交点．
• 结论：关于x的方程a
x
＝log
a
x的解的个数与底数的关系：
3．1 当 a＞e
1
e
时，方程 a
x
＝log
a
x 无解；
3．2 当 a＝e
1
e
或 e
－e
≤a＜1 时，方程 a
x
＝log
a
x 有唯一解；
3．3 当 1＜a＜e
1
e
时，方程 a
x
＝log
a
x 恰有 2 个解；
3．4 当0＜a＜e
－e
时，方程a
x
＝log
a
x恰有3个解．
(1)选题
用平面截正方体，得到一个截面，在这一大背景下，学生可以自主
或在教师引导下提出问题，例如：平面截正方形，可以得到那些图形？
案例5 平面截正方体所得的图形
二、案例解说
接着给出截面图形的分类原则，找到截得这些形状截面的方法，画出
这些截面的示意图．
三角形
矩形
正方形
正方体截面图形示意图
梯形
五边形 六边形
二、案例解说
给出截面图形的分类原则，例如，可以按照截面图形的边数进行分类：
①如果截面是三角形，那么可以截出几类不同形状的三角形？为什么？
②如果截面是四边形，那么可以截出几类不同的四边形？为什么？
③如果学生没有指出能截出五边形、六边形等，再问：还能截出哪些多
边形？为什么？
④能否截出正五边形？为什么？
⑤能否截出直角三角形？为什么？
⑥是否存在正六边形的截面？为什么？
⑦有没有可能截出边数超过6的多边形？为什么？
⑧截面面积最大的三角形是什么形状的三角形？为什么？
⑨截面面积最大的图形是什么？为什么？
⑩截面周长最大的图形是什么？为什么？
三角形
四边形
在这一基础上面，就可以开题了．
(2)开题
①正方体的截面类型；
②正方体截面的画法；
③正方体截面中的正多边形；
④正方体截面中的特殊图形；
⑤正方体截面面积的最大值；
⑥正方体截面周长的最大值；
⑦正方体截面的几何性质；
⑧正方体截面的分类标准．
问题可以提具体，但选择一个问题来开题，不应当就是一个简单
的回答，要求太低了一点，它不能达成我们指向的、要学生体会到的
思想方法和发展他的核心素养．
在开题的时候，希望对一些更深刻的问题，比如：截面的类型、
截面的画法、截面中的正多边形、截面中的特殊图形等进行探究．
大家应该发现，截面中的特殊图形一定是截面的正多边形发展而
来的，上面这些问题是在不断提高的．比如对于“截面面积的最大值”
问题，前面可以提一个“正六边形它的面积是不是最大的呢？”“正
六边形是不是只有一个？”“正六边形面积的最大值是什么？它是不
是所有截面的最大值？” 或者“说面积最大的多边形是不是正六边
形？”，从而就把它上升为“正方体截面面积的最大值”．
在此基础上，不管是正多边形也好，面积的最大值也罢，毕竟是
截面这一几何图形一个方面的性质．那能不能把它更广泛一点，作为
研究一个正方体的截面更多的几何性质，一个更大的问题提出来呢？
数学探究的过程是充满了探索味道的，它可以把学生带向远方．
我们完全可以从一个平面由几个点确定出发来研究正方体截面
的形状．由于三个不共线的点确定一个平面，那么这三个点从哪里
去找啊？这三个点是在棱上还是在正方体的面上或体内呀？如果觉
得这三个点一定在棱上(因为任意一个截面一定可以找到在棱上的至
少三个点)，那么这三个点在棱上呈现怎样的状态？怎样去分类啊？
你能提出一个分类标准来吗？这里面的数学味道和提升学生的数学
思维水平是非常有意义的一件事情．
因此，在让学生来做题当中，教师应该给出一些建议．
①探究一个数学问题有哪些基本步骤？
②截面的定义是什么？
③你可以获得正方体的哪些截面？
④怎样画正方体的截面？依据是什么？
⑤你会用到哪些数学概念、原理与方法证明你的结论？
⑥你能获得不同截面的哪些性质？
⑦你能提出一些什么问题？
其中问题⑦形成了更有意义的探究问题，这样学生做题过程会好
一些，发展数学素养会更到位一些．
(3)做题(教师可以建议)
因为做题是学生渴望的探究活动，所以在学生做题的过程当中，
教师可以给出如下的一些建议：
(4)结题
在结题的过程中，有这四个方面事情要做:
①写出以组为单位提供结题报告；
②教师组织结题交流；
③教师给出结题评价；
④指明或建议后续的研究问题．
在结题时的答辩过程中，学生是主体，老师只是主持人，是一个
裁判，是一个给学生们的结题报告做出评价的人．那么在这个过程中，
老师应该提出一些什么样的问题呢？这里提供了一些就学生在答辩过
程中他可能提出的一些问题．比如：
学生提出有意义的问题(答辩问)
①截面是三角形、四边形、五边形、六边形时，哪些可以是正多
边形？
②截面中面积最大的多边形是怎样的多边形？一定是正多边形吗？
如何证明？
③截面具备怎样的条件就是六边形？截面是六边形时，有些什么
性质？其他截面图形呢？
④五边形中有无直角梯形？为什么？
答辩一定是“要有答有辩”．例如问题④，如果得到结论“截面
是直角梯形”，那么它的一条腰一定垂直于正方体底面，从而与正方
体的一条棱平行，根据线面平行的性质，它必定与另一条腰也平行，
所以截面不可能是直角梯形．这样一个过程就让学生接受到了逻辑推
理的锻炼，对于提升他的逻辑推理素养是非常有意义的事情．
• 探究活动的发起接地气；
(必要性)
• 探究活动的认知有直觉；
(基础性)
• 探究活动的过程有层次；
(逻辑性)
• 探究活动的方法可操作；
(可行性)
• 探究活动的认识要辨析；
(深刻性)
• 探究活动的结论要明确．
(完整性)
自然发展的探究活动的特征
三、反思解困
开展数学探究活动需要进一步研究的的问题是
1．如何处理活动中 “教师讲授”与“学生探究”的关系？
2．如何解决“少数学生探究”与“多数学生发展”的关系？
3．如何平衡日常课堂教学中教师的讲授与学生的数学探究？
三、反思解困
谢谢！
