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4.1 数列(1)
南京市金陵中学 郭建华
教学目标：
1．通过生活中的实例，了解数列的概念、分类，知道数列是一类特殊的函数，会用列
表法和图象法表示数列．
2．理解数列通项公式的概念，会根据通项公式写出数列的前几项，会根据简单数列的
前几项写出数列的一个通项公式．
3．运用已有的研究数学概念的经验，明确数列概念的主要研究内容和基本研究方法．在
学习过程中，让学生感受类比迁移、数形结合、归纳演绎等数学思想，学会用联系的观点学
习数学．
教学重点与难点：
重点：理解数列的概念和三种表示方法．
难点：理解数列是一类特殊的函数．
教学方法：
采用启发式、讨论式以及讲练结合的教学方法，通过问题激发学生求知欲，使学生主动
参与数学实践活动，以独立思考和相互交流的形式，在教师的指导下发现、分析和解决问题．
教学过程：
1．创设情境，形成概念
在美丽的自然风景中，从数学的视角你看到了什么？
自然世界呈现各种各样的现象，有些现象与“数”紧密联系着：树木生长过程中枝丫的
数目，果实的个数与排列方式……
2
教师：其实在自然界还大量存在着类似的现象，请同学们观察以下 6 个实例：
(1)某剧场由 30 排座位，第一排有 20 个座位，从第二排起，后一排都比前一排多 2 个
座位，那么各排的座位数依次为 20，22，24，26，28，…．①
(2)人类在 1740 年发现了一颗彗星，并推算出这颗彗星每隔 83 年出现一次，那么从发
现那次算起，这颗彗星出现的年份依次为 1740，1823，1906，1989，2072，…．②
(3)某种细胞，如果每个细胞每分钟分裂为 2 个，那么每过 1 分钟，1 个细胞分裂的个数
依次为 1，2，4，8，16，…．③
(4)“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的意思为：一尺长的木棒，每日取一半，永远
也取不完．如果将“一尺之捶”视为 1 份，那么每日剩下的部分依次为 1，
1
2
，
1
4
，
1
8
，
1
16
，
1
32
，…．④
(5)某种树木第 1 年长出幼枝，第 2 年幼枝长成粗干，第 3 年粗干可生出幼枝，那么按
照这个规律，各年树木的枝干数依次为 1，1，2，3，5，8，…．⑤
(6)从 1984 年到 2016 年，我国共参加了 9 次夏季奥运会，各次参赛获得的金牌总数依
次为 15，5，16，16，28，32，51，38，26．⑥
设计意图：通过现实生活、天文学、生物学、数学、植物学等六个方面的实例，让学生
感受数学之美和数学之奇，让学生感受数列模型在自然世界中大量存在，告诉学生学习数列
的必要性．同时，六个实例中也包含了后续要重点研究的等差数列、等比数列以及一些特殊
的数列，以此激发学生的探究欲和学习兴趣，启迪思维，引发学习意向．
教师：观察以上 6 个实例，从数学的角度，你能提出什么问题?请大家谈谈自己的想法．
学生：…
教师：你觉得这 6 组对象值得研究吗?
(涉及到现实生活、天文学、生物学、数学、植物学等方面，说明数列模型在现实生活
中大量存在，告诉我们学习数列的必要性．让学生从数学的角度自己发现这些组数据所具有
的共性)
学生：…
教师：你打算如何研究这一组对象呢?
学生：…
教师：如果还没有想到，应该怎么想？
学生：…
教师：以前有无类似的经历和经验？
3
(让学生回顾，比如，研究函数的历程：先下定义，然后是表示方法(符号表示)，还要研
究他们的性质，最后是应用．)
学生：…
教师：你现在能描述下 6 个中实例的共同特征吗？
学生：…
教师：像这样的一列数，就是今天我们要研究的“数列”．
概念：按照一定次序排列的一列数称为数列(板书)．
让学生指出数列概念中的关键词．
学生：“次序”，“一列数”．
设计意图：…
教师：以上六个数列，数字之间能否调换顺序?为什么?
学生：不可以随意调换顺序，否则意思就变了，每个数字都有自己所对应的序号．
让学生思考，体会每组数字都是有“次序”的．
教师：数列 1，2，4，8，16 与数列 16，8，4，2，1 是同一数列吗?
学生：虽然两个数列包含的数字完全相同，但是数字的排列顺序不完全相同，所以它们
不是同一数列．
教师：很好!对于两个数列所包含的数字完全相同，只要顺序不同，就是不同的数列．那
么，3，3，3，3，…是数列吗? －1，2，－3，4，－5，．．．是数列吗?为什么?
学生：都是数列．都是按一定次序排列的一列数．
教师：数列中的数字可以重复出现，但它们代表的含义可能不同．
学生举例子，－1，－2，－3，－4，…．
教师：我们得到一个新的概念之后，通常我们要做的第一件事是什么?
学生：…
教师：比如，学习了函数概念后，我们干了一件什么事?
学生：用符号表示．
教师：前面我们研究了几个具体的，各不相同的数列，如何用符号来表示?
学生：…
教师：数列中的每一项都与它的次序有关，排在第一位的数称为这个数列的第 1 项(首
项)，排在第二位的数称为第 2 项，…，排在第 n 位的数称为第 n 项．
4
数列的一般形式可以写成 a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，…，简记为{a
n
}．其中 a
1
称为数列{a
n
}
的第 1 项或首项，a
2
称为第 2 项，……，a
n
称为第 n 项．
比如，20，22，24，26，28，…的首项是什么?第 5 项是什么?
让学生体会数列中项的表示方法．
教师：前面哪个内容涉及到符号{…}?
学生：…
教师：数列的概念和记号{a
n
}与集合概念和记号的区别是什么？
学生：数列中的项是有序的，而集合中的项是无序的；数列中的项可以重复，而集合中
的元素不能重复．
教师：在数列中，符号{a
n
}与 a
n
所表示的意义否相同，为什么？
学生：不同，{a
n
}表示一个数列，不只是一项，a
n
仅仅表示数列的第 n 项．
教师：{a
n
}表示一个数列，不只是一项，今后通常要在其前面写上“数列”二字，即“数
列{a
n
}”．对于不同的数列，它们的项数有什么特点?
学生：项数会不一样．
让学生观察给出的各组数列，观察项数．
教师：根据数列中项数的有限和无限，将数列分成以下两类：有穷数列和无穷数列(板
书)．
设计意图：…
2．表示数列，深化概念
教师：数列的项在变化过程中，其实还有一个量伴随着它的变化，那就是序号．
请学生观察和思考下面一个问题：数列{a
n
}的各项 a
n
与其序号 n(n＝1，2，3，…)存在
着如下的对应关系：
序号
1
2
3
…
n
…
项
a
1
a
2
a
3
…
a
n
…
对于上述对应关系，你能发现了什么?
教师：请同学们思考，小组之间可以讨论．
学生 7：数列是函数．
教师(追问)：为什么?
5
学生：反映的是两个非空数集之间的对应，对于数列中的每一个项数 1，2，3，…，n，…，
都有唯一的项 a
1
，a
2
，a
3
，…，a
n
，…，与之对应，所以，数列是函数．
教师：其他同学认同这个观点吗?(大多数同学表示赞同)
教师：依据函数的定义，数列确实是函数．当我们学习一个新知识时，应当关注它与以
前学过的知识之间是否存在关联，以便更好地从整体上把握数学本质，形成一个系统化的知
识体系．
设计意图：…
教师：既然数列是函数，那么，有了前面函数学习的经历，接下来我们应该研究数列的
哪些问题?
学生：定义域、表示方法和性质．
教师：你是怎样想到研究这些内容的?
学生：模仿研究函数的内容进行研究．
教师：既然数列是一类函数，我们就可以利用研究函数的内容和方法来研究数列．那么，
数列的“定义域”是什么?
学生：正整数集 N
＋
或它的有限子集{1，2，3，…，k}．
(数列与前面研究过的基本初等函数(如幂函数、指数函数、对数函数、三角函数等)相比
较是有区别的，前面所研究的基本初等函数，通常是连续型的函数；而数列则是一种离散型
函数，它的值域规律性有时较弱．)
教师：数列的表示方法有哪些呢?
学生：类比函数的表示方法，应该有三种：列表法、图像法、解析法．
教师：上述问题给出的形式就是列表法，比如，对于(3)中的数列，你还可如何表示？
学生：a
n
＝2
n
－
1
，n∈N
＋
.
教师：其他几个数列是否也可以这样表示？请学生写出(1)和(4)表达式，即 a
n
＝18＋2n，
n∈N
＋
，n≤30；a
n
＝
1
2
n
－
1
，n∈N
＋
．
教师：这样的式子叫作数列{a
n
}的通项公式．如何给通项公式下个定义?
小组讨论，让学生尝试给出定义．
一般地，如果数列{a
n
}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式 a
n
＝f(n)来表示．那
么这个公式叫做这个数列的通项公式．
教师：我们能否用图象表示数列(1)，(3)，(4)．观察它们有什么特点？
6
学生：是一群孤立的点．
教师：如何由函数 y＝f(x)得到相应的数列?
学生：只要 x 可以取从 1 开始的正整数，就可以得到数列 f(1)，f(2)，…f(n)，…．
教师：(结合上述图象)数列是特殊的函数．它的特殊性表现在哪里？
学生：定义域是正整数或它的有限子集{1，2，3，．．．，n}，函数值相应的是数列中
的项 f(1)，f(2)，…，f(n)，…
在数列{a
n
}中，对于每一个正整数 n(或 n∈{1，2，…，k})，都有一个数 a
n
与之对应．因
此，数列可以看成以正整数集 N
*
(或它的有限子集{1，2，…，k})为定义域的函数 a
n
＝f(n)，
当自变量按照从小到大的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数 y＝f(x)，
如果 f(i)(i＝1，2，3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列 f(1)，f(2)，f(3)，…，f(n)，…．
设计意图：…
三、应用举例，巩固新知
例 1 写出数列的一个通项公式，使它的前 4 项分别是下列各数．
(1)10，100，1000，10000；
(2)
1
1×2
，－
1
2×3
，
1
3×4
，－
1
4×5
；
(3)0，2，0，2．
解 (1)a
n
＝10
n
；
(2)这个数列的前 4 项的分母都等于序号与序号加 1 的积，且奇数项为正，偶数项为负，
所以它的一个通项公式是 a
n
＝
(－1)
n
＋
1
n(n＋1)
；
(3)这个数列的奇数项为 0，偶数项为 2，所以它的一个通项公式是 a
n
＝1＋(－1)
n
．
师：同样，我们也可以用图象表示数列，请同学们完成例 2．
例 2 已知数列{a
n
}的通项公式，写出这个数列的前 5 项，并作出它的图象：
(1)a
n
＝
n
n＋1
；(2)a
n
＝
(－1)
n
2
n
．
解 我们用列表法分别给出两个数列的前 5 项．
n
1
2
3
4
5
a
n
＝
n
n＋1
1
2
2
3
3
4
4
5
5
6
a
n
＝
(－1)
n
2
n
－
1
2
1
4
－
1
8
1
16
－
1
32
7
它们的图象如下图所示.
用列表法和图象法表示数列，实际上与函数的列表、描点是一致的．特别要注意数列的
图象是一系列离散的点．用图象法表示数列时，坐标的横轴与纵轴的单位长度可以不同．
(备用)例 3 已知数列{a
n
}的通项公式是 a
n
＝n
2
－6n＋5．
(1)2021 是否为数列的项?为什么?
(2)这个数列有没有最小的项?
四、回顾反思，升华理解
回顾与反思：什么是数列？其本质是什么?你是如何研究数列的?
五、分层作业，因材施教
(1)巩固运用：教材 P
128
感受·理解第 2，3，4 题，思考·运用第 7 题．
(2)拓展思考：各年树木的枝干数：1，1，2，3，5，8，．．．能否尝试写出它的任一项与
其前一项或前几项之间的关系?
