独立性检验第一课时
南京市金陵中学 陈康康
生活中有很多现象，它们有关或无关。
例如：吸烟与患呼吸道疾病有关系吗？直观上，吸烟有害健康，为了你和家人的
健康，少吸烟。性别与阅读量有无关系？有人说无关，知识使人进步，我们都爱读书；
有人说有关，女生可能喜欢安静，更喜欢读书。
两个现象有无关系，多大关系？我们要进行数学研究。
比如，在研究吸烟与患呼吸道疾病的关系时，我们不能空口说白话，要用数据说话，要
进行抽样调查。
一． 收集数据，整理数据
根据上面的抽样调查，说一说你可以得到哪些数据.
患病
未患病
合计
吸烟
37
183
220
不吸烟
21
274
295
合计
58
457
515
二．直观判断，分析数据
问题 1 根据这些数据，能否判断吸烟与患病有关系。
生 1：不能判断，样本不能代替整体。
点评：很好。在研究吸烟和患病有无关系的问题时，不可能对每个人进行统计，只能依据样
本推测整体。获取样本是一件非常重要，也是科学的事情。数据的获取不准确，基于数据的
分析，所得结果就可能错误。数据的获取公平、公正、科学合理，基于数据的分析应该会有
一定价值。
某医疗机构为了了解呼吸道疾病与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了 515
个成年人，其中吸烟者 220 人，不吸烟者 295 人．调查结果是：吸烟的 220 人中有 37 人
患呼吸道疾病(简称患病)，183 人未患呼吸道疾病(简称未患病)；不吸烟的 295 人中有 21
人患病，274 人未患病．
2×2 列联表
生 2：在吸烟的人中，有
37
220
≈16.82%的人患病；在不吸烟的人中，有
21
295
≈7.12%的人患病。
直观上吸烟群体和不吸烟群体患病存在差异，吸烟群体中患病的频率高。
点评：同学们认为有没有道理。很好。通过比例来研究。
师：什么情况下，吸烟群体和不吸烟群体患病的比例差不多呢？
生 3：吸烟与患病没有关系时，吸烟群体和不吸烟群体患病的比例差不多。
直观上，在吸烟和患病无关的条件下，计算并完成下表。
患病
未患病
合计
吸烟
25
183
220
不吸烟
33
274
295
合计
58
457
515
三．比较数据，感受过程
吸烟和患病是不是有关系呢？刚才同学们通过比例发现可能有关。在吸烟和患病无关的条
件下，我们得到表 1－1 中的观测值的估计值，如表 1－2 所示.
表 1－1 表 1－2
与患病有无关系，就是要比较两张表格中数据的差异。差异越大，吸烟与患病相
关的可能性越大；差异越小，吸烟与患病相关的可能性越小。
问题 2 你能用数学式子来描述两张表格中数据的差异吗？
学生 1：(25－37)＋(183－195)＋(21－33)＋(274－262)；
学生 2：|25－37|＋|183－195|＋|21－33|＋|274－262|；
学生 3：
|25－37|
37
＋
|183－195|
195
＋
|21－33|
33
＋
|274－262|
262
；
学生 4：
|25－37|
25
＋
|183－195|
183
＋
|21－33|
21
＋
|274－262|
274
；
学生 5：
(25－37)
2
25
＋
(183－195)
2
183
＋
(21－33)
2
21
＋
(274－262)
2
274
；
……
师：数学上，统计学家用 χ
2
＝
(25－37)
2
25
＋
(183－195)
2
183
＋
(21－33)
2
21
＋
(274－262)
2
274
来研究两张表
格中数据的差异。χ
2
越大，吸烟与患病相关的可能性越大；χ
2
越小，吸烟与患病相关的可能
性越小。
患病
未患病
合计
吸烟
37
183
220
不吸烟
21
274
295
合计
58
457
515
患病
未患病
合计
吸烟
25
195
220
不吸烟
33
262
295
合计
58
457
515
χ
2
比刚才的“比例”能更精确地描述吸烟与患病有没有关系。
四．特殊到一般，构建理论
假设在患病与吸烟无关(相互独立)的条件下，请完成下表
患病
未患病
合计
吸烟
(a＋b)(a＋c)
n
(a＋b)(b＋d)
n
a＋b
不吸烟
(c＋d)(a＋c)
n
(c＋d)(b＋d)
n
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
师：上表中吸烟且患病人群的估计值，你是怎么得到的？
生 1：比例。
生 2：独立事件同时发生的概率等于概率之积，用频率近似估计概率。
χ
2
＝
[a－
(a＋b)(a＋c)
n
]
2
(a＋b)(a＋c)
n
＋
[b－
(a＋b)(b＋d)
n
]
2
(a＋b)(b＋d)
n
＋
[c－
(c＋d)(a＋c)
n
]
2
(c＋d)(a＋c)
n
＋
[d－
(c＋d)(b＋d)
n
]
2
(c＋d)(b＋d)
n
＝
(ad－bc)
2
n
2
[
n
(a＋b)(a＋c)
＋
n
(a＋b)(b＋d)
＋
n
(c＋d)(a＋c)
＋
n
(c＋d)(b＋d)
]
＝
(ad－bc)
2
n
[
(b＋d)＋(a＋c)
(a＋b)(a＋c)(b＋d)
＋
(b＋d)＋(a＋c)
(c＋d)(a＋c)(b＋d)
]
＝(ad－bc)
2
(c＋d)＋(a＋b)
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
＝
n(ad－bc)
2
(a＋b)(c＋d)(a＋c)(b＋d)
，(其中 n＝a＋b＋c＋d)
χ
2
越大，吸烟与患病相关的可能性越大；χ
2
越小，吸烟与患病相关的可能性越小。
在假设吸烟与患病独立的条件下，用 χ
2
来研究吸烟与患病是否有关的问题，我们称为独立
性检验。依据样本所得的 χ
2
，吸烟与患病有关或者无关的把握有多大呢？我们下节课继续研
究。
患病
未患病
合计
吸烟
a
b
a＋b
不吸烟
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
n＝a＋b＋c＋d
