数学课 堂 教 学
数学课 堂 教 学
的
的
自然发 展
自然发 展
金陵中学 张松年
数学教学活动是自然的
数学教学活动是自然的
1
1
．数学的内容是自然的；
．数学的内容是自然的；
2
2
．学生的学习是自然的；
．学生的学习是自然的；
3
3
．教师的教学是自然的．
．教师的教学是自然的．
1
1
．新课的引入要接地气；
．新课的引入要接地气；
(
(
学习的必要性，来源于数学发展的需要
学习的必要性，来源于数学发展的需要
——
——
函数即方程、函数的值域
函数即方程、函数的值域
)
)
2
2
．知识的发展要有层次；
．知识的发展要有层次；
3
3
．内容的认识要有直觉；
．内容的认识要有直觉；
4
4
．知识剖析要有深刻性；
．知识剖析要有深刻性；
5
5
．研究的方法要有远见；
．研究的方法要有远见；
6
6
．知识的应用要留空间．
．知识的应用要留空间．
附：关于函数值域的几个层次：
1 ．知识平台 ( 公理化 ) ： (333)
2 ．代数论证
例 1 求证：一次函数 y ＝ 2x － 1 的值域为 R
．
证 因为对任意的 x∈R ，都有 2x － 1∈R ，
所以 y∈R ．
又对任意的
y
∈
R
，都存在
x
＝
y
＋
1
2
∈
R
，
使得
2
x
－
1
＝
y
，
所以函数 y ＝ 2x － 1 的值域为
R ．
例
2
求证：函数
y
＝
x
＋
1
x
在区间
(0
，＋∞
)
上的取
值范围为区间
[2
，＋∞
)
．
证法一
(
方程观
)
当
x
∈
(0
，＋∞
)
时，
y
＝
(
x
－
1
x
)
2
＋
2
≥
2
．
又 对 任 意 的
y
∈
[2
， ＋ ∞
)
， 都 存 在
x
＝
y
＋
y
2
－
4
2
，使得
y
＝
x
＋
1
x
，
所以，函数
y
＝
x
＋
1
x
在区间
(0
，＋∞
)
上的取值范围
为区间
[2
，＋∞
)
．
例
2
求证：函数
y
＝
x
＋
1
x
在区间
(0
，＋∞
)
上的取
值范围为区间
[2
，＋∞
)
．
证法二
(
函数观
)
当
x
∈
(0
，＋∞
)
时，
y
＝
x
＋
1
x
≥
2
x
·
1
x
＝
2
，
当
x
＝
1
x
，即
x
＝
0
时，
y
＝
2
．
又对任意的
M
＞
2
，当
x
＞
M
时，
y
＝
x
＋
1
x
＞
x
＞
M
，
所以
y
的取值范围为区间
[2
，＋∞
)
．
对任意的
M
＞
2
，当
0
＜
x
＜
1
M
时，
y
＝
x
＋
1
x
＞
1
x
＞
M
，
1
1
．新课的引入要接地气；
．新课的引入要接地气；
(
(
学习的必要性，来源于数学发展的需要
学习的必要性，来源于数学发展的需要
——
——
函数即方程、函数的值域
函数即方程、函数的值域
)
)
2
2
．知识的发展要有层次；
．知识的发展要有层次；
(
(
观察、发现、分析、抽象、概括、转化
观察、发现、分析、抽象、概括、转化
方程的解
方程的解
函数图象与
函数图象与
x
x
轴的交
轴的交
点的横坐标
点的横坐标
两个函数图象的交点
两个函数图象的交点
零点的存在性
零点的存在性
零点个数
零点个数
零点的值
零点的值
)
)
3
3
．内容的认识要有直觉；
．内容的认识要有直觉；
(
(
概念
概念
图象
图象
函数或方程
函数或方程
表示
表示
判断
判断
图形
图形
代数化
代数化
)
)
4
4
．知识剖析要有深刻性；
．知识剖析要有深刻性；
(
(
对象含义
对象含义
——
——
零点
零点
(
(
解？根？
解？根？
)
)
，问题指向
，问题指向
——
——
有无？几个？是谁？
有无？几个？是谁？
数学
数学
抽象
抽象
——
——
零点存在定理
零点存在定理
——
——
表示、形式化
表示、形式化
——
——
唯一性
唯一性
)
)
5
5
．研究的方法要有远见；
．研究的方法要有远见；
(
(
函数的零点
函数的零点
函数的值
函数的值
函数的值域
函数的值域
参数的范围
参数的范围
基本初等函数
基本初等函数
导数
导数
)
)
6
6
．知识的应用要留空间．
．知识的应用要留空间．
(
(
学之道在于“悟”，教之道在于“度”：方程有解
学之道在于“悟”，教之道在于“度”：方程有解
函数有零点；函数
函数有零点；函数
的值域
的值域
参数的范围；两个函数图象是否相交
参数的范围；两个函数图象是否相交
零点是否存在；两个函数图
零点是否存在；两个函数图
象交点的个数
象交点的个数
零点的个数；参数的范围
零点的个数；参数的范围
对应方式
对应方式
函数在各个单调区间
函数在各个单调区间
上的取值范围
上的取值范围
集合的运算
集合的运算
参数的范围
参数的范围
)
)
案例
例 1 设函数 f(x) ＝ x
2
－ ax ＋ 4 ，试分别根据
下列条件，求实数 a 的取值范围，使得函数 f(x)
在区间 [1 ， 3] 上
(1) 有零点； (2) 有两个零点．
解法一 当
x
∈
[1
，
3]
时，由
x
2
－
ax
＋
4
＝0，得
a
＝
x
＋
4
x
，
所以，
f
(
x
)
在区间
[1
，
2]
上零点的个数，即函数
y
＝
x
＋
4
x
在区间
[1
，
3]
上的图象与直线
y
＝
a
公
共点的个数，如图所示．
y
x
y
＝
x
＋
4
x
O
2
y
＝
a
5
由图可知，
(1)
当且仅当
2
＋
4
2
≤
a
≤
1
＋
4
1
，即
4
≤
a
≤
5
时，函数
y
＝
x
＋
4
x
在区间
[1
，
3]
上的图象与直线
y
＝
a
有公共点，
即实数
a
的取值范围是区间
[4
，
5]
．
(2)
当且仅当
2
＋
4
2
＜
a
＜
3
＋
4
3
，即
4
＜
a
＜
13
3
时，函数
y
＝
x
＋
4
x
在区间
[1
，
3]
上的图象与直线
y
＝
a
有两个公共
点，即实数
a
的取值范围是区间
(4
，
13
3
)
．
解法二 当
x
∈
[1
，
3]
时，由
x
2
－
ax
＋
4
＝0，得
a
＝
x
＋
4
x
，
设函数
g
(
x
)
＝
x
＋
4
x
，所以，
f
(
x
)
在区间
[1
，
2]
上零
点的个数，即关于
x
的方程
g
(
x
)
＝
a
在区间
[1
，
3]
上解的个数．
由于
g
(
x
)
在区间
[1
，
2]
上单调减，取值范围为
区间
[4
，
5]
；在区间
(2
，
3]
上单调增，取值范围为
区间
(4
，
13
3
]
．
由于
(4
，
13
3
]
[4
，
5]
，所以，
(1)
当且仅当
a
的取值范围为区间
[4
，
5]
时，方程
g
(
x
)
＝
a
在区间
[1
，
3]
上有解．
(2)
当且仅当
a
的取值范围为区间
(4
，
13
3
)
时，方程
g
(
x
)
＝
a
在区间
[1
，
3]
上有两个解．
因此，满足条件的实数
a
的取值范围分
别是区间
[4
，
5]
和
(4
，
13
3
)
．
1．若函数
f
(
x
)
＝
2sin(
x
＋
π
3
)
＋
a
在区间
[0
，
π
2
]
上有
两个零点，则实数
a
的取值范围是
______
．
2
．设函数
f
(
x
)
＝
x
e
x
－
a
sin
x
cos
x
(
a
∈
R
，其中
e
是
自然对数的底数
)
．是否存在实数
a
，使得函数
f
(
x
)
在区间
(0
，
π
2
)
上有两个零点？若存在，求出
a
的取值范围；若不存在，请说明理由．
谢谢
谢谢