匠心独运寓意深，褪去铅华尽是真

——苏教版普通高中教材《数学·必修 1》设计意图与教材分析

苏教版普通高中课程标准实验教科书(数学)的特色是“入口浅，寓意深”、“整体贯通，互相联系”、

“返璞归真，适度形式化”、“提供参与空间，促进共同发展”等特色．下面就《数学·必修 1》的设计

意图谈谈我的想法．

1 知识呈现与研究方法的同构设计

教科书的结构主要包括：模块、章、节、单元等。其中每一章由章头图、引言、各节内容、本章回顾、

复习题、探究案例、实习作业等内容构成的整体，注重整体贯通、互相联系．

(1)从整体出发，按知识发展、背景问题、思想方法为纬线，以模块、章、节、单元为经线，进行整体

贯通设计，使学生获得整体认识与理解．如下图所示：

②模块、章、节、单元之间的相互贯通．

教材以集合与对应为主线，使集合与函数概念联系，使学生获得对函数的整个清晰的认识。既注重知

识的理解，更注重学生对一般研究方法与思想方法的掌握。知识是为解决问题自然建立的，而不是简单的

被动提出．如下图所示：

(2)引言包括：①本章的主背景，以入口较浅的生活或学生能理解的实例，引发学生思考．这个背景又

是本章核心内容的原型，在一章中将多次按不同层次或方向出现，统领全章．②引领本章内容的问题．这

是本章的生长点、核心内容或研究方法，它将激发学生探索新知识的欲望．

(3)每一节包括内容组织、活动开展、拓展栏目、习题、阅读等内容．节为教学的基本单元，每节有自

己的小系统．每节开头在章的背景下，给出分支背景，围绕章的问题，提出相应问题．这些问题就是本节

的起点、核心内容的出发点．

每节内容组织主要形式为：问题情境→学生活动→意义建构→数学理论→数学运用→回顾反思．

问题情境包括实例、情景、问题、叙述等．设计意图是为了提出问题．

学生活动包括观察、操作、归纳、猜想、验证、推理、建立模型、提出方法等个体活动，也包括讨论、

合作、交流、互动等小组活动．设计意图是为了让学生体验数学．

意义建构包括经历过程、感受意义、形成表象、自我表征等．设计意图是为了让学生感知数学．

数学理论包括概念定义、定理叙述、模型描述、算法程序等．设计意图是为了帮助学生建立数学．

数学运用包括辨别、解释、解决简单问题、解决复杂问题等．设计意图是为了促使学生运用数学．

回顾反思包括回顾、总结、联系、整合、拓广、创新、凝缩(由过程到对象)等．设计意图是为了让学

生理解数学．

集合概念

集合表示

集合运算

函数性质

函数应用

函数表示

函数概念

情景

解决问题

特殊函数

函数建模

对数函数

指数函数

指数函数应用

对数函数应用

指数概念与运算

对数概念与运算

模块

思想方法

块

章

节

单元

背景问题

块

知识发展

块

(4)拓展栏目：主要方式有思考、实验、探究、阅读、链接等，穿插在各个环节中．

(5)练习、习题、复习题、本章测试：每一节后面的练习是本节课所学内容的重现，学生可以通过模仿

解决．习题、复习题的配置分为紧密联系的三个层次：“感受·理解”，“思考·运用”，“探究·拓展”．其

中“感受·理解”比练习稍高一些，旨在巩固每一个学生对所归纳、学习的知识的理解，初步理解、体会

所学的知识，并用来解决一些简单的问题；“思考·运用”是学生借助所学的知识，经过深入的思考，能

解决的一些较复杂问题，关注研究方法、思想方法的运用；“拓展·提高”所选问题充分关注探究性、创

造性、开放性，是经过努力解决所提出的问题，主要着眼于鼓励学生自主检查获得知识的能力，提高理性

思维水平，增强学习的自信心，形成坚强意志品格的磨炼．

1．1 章头图、章首语、引言与核心问题

章头图给出本章核心概念或原理的直观形象。引言说明数学的来历，提出本章的核心问题或研究方法。

正文建立数学理论、给出运用、研究方法。本章回顾是由厚到薄的反思过程，对全章作概括、整理、提升。

每一个环节“入口”紧密相连，循序渐进，“寓意”不断加深。

第 1 章《集合》的章头图是原野上的一群大象，你可以把象群看做是一个整体，其中的每头象都是这

个整体的一个元素，你也可以把整个原野系统看做是一个整体，其中的每个生物(一草一木一象一土)都是

这个整体的一个元素．正像章首语中说的“同一类对象汇聚在一起”就成了集合，关键是你以什么标准来

“分类”，以确定那些对象“汇聚在一起”．

第 2 章《函数的概念与图象》的章头图是阳光下的山脉，近处的雪山上有人在滑雪，远处的山坡陡峭

各异，山梁波澜起伏，天空中直升机在翱翔，寓意着“天地间万物共存在，世界万物都在发生变化”，需

要人们用“相互联系、运动变化”的观点去描述、刻画、研究这样的现象．章首语和引言指出了本章的核

心问题“用数学模型刻画两个变量之间的依赖关系”．

第 3 章《指数函数、对数函数和幂函数》的章头图是热带海滨，浩瀚的海面卷起波浪，平静的沙滩上

生长着挺拔的棕榈树，瞭望亭有漫步的游客，预示着大千世界在不断发生着变化，我们需要去研究这些变

化．章首语和引言指出“函数是研究自然界变化的重要工具”．

1．2 载体的选择

函数概念的引入，选择了三个实例，分别体现了函数的三种表示方法；函数性质的研究，以初中学习

的三类函数：一次函数、二次函数、反比例函数为载体；函数的应用，又以三类函数：指数函数、对数函

数、幂函数为载体．这种选择研究函数载体的方式在后续的相关模块中一如既往地体现，如三角函数的研

究以正弦函数、余弦函数、正弦函数为载体，数列的研究以等差数列、等比数列、分式数列为载体，等等．

1．3 内容和方法

函数性质的研究，是利用“对应法则有意义”求出函数定义域的基础上，借助函数的图象，感知了函

数的值域、奇偶性、单调性，最终进行代数刻画．反过来又用代数刻画来研究一次函数、二次函数、反比

例函数的性质．在学习指数函数、对数函数、幂函数时，又是同构这样的研究方法，利用数形结合思想对

这三类函数的性质进行研究．直至三角函数，甚至用导数的方法研究函数的性质，都是遵循这样的研究方

式．只不过是研究的内容越来越丰富，刻画的性质越来越精细．

1．4 本章小结

每一章的“本章小结”对本章的主要内容、知识方法和运用函数知识解决解决问题的流程做了总的概

括，并给出了知识结构框图，更直观地体现了“同构”的思想，例如，第三章的知识结构框图如下图所示．

问题情景

背景

函数

应用

性质

表示

概念

背景

指数函数

应用

性质

表示(解析式、图象)

概念

背景

指数函数

应用

性质

表示(解析式、图象)

概念

2 研究方式为架构的螺旋式上升

函数性质的研究，从“以一次函数、二次函数、反比例函数为载体，以图像为立足点，研究函数的定

义域、值域、奇偶性、单调性”开始，上升到对一般函数的这些性质的代数刻画，又在一般理论的指导下，

用同样的方式对指数函数、对数函数、幂函数进行了研究，进一步加深了对函数性质及其研究方式的理解，

在此基础上，利用函数的性质研究函数与方程的问题，螺旋式前进，使得认识逐步升华．其实在后续的研

究中，这种模式继续呈现，如对三角函数的性质研究，就是通过对三角函数线或三角函数图象的观察得出

的，同时又发现了三角函数的周期性，内容更丰富，研究方式更灵活．数形结合，以形助数，以数说形，

隐含了“当函数 f(x)分别满足下列条件：f(－x)＝f(x)，f(－x)＝－f(x)，f(a－x)＝f(a＋x)，f(a－x)＝－f(a＋x)，

f(a＋x)＝f(x)时的图象特征”．至于用函数的性质研究数列、不等式的性质，就是函数性质的应用了．函数

性质的全面、深刻、微观的刻画，就要留待函数的导数来解决了．

3 集合论为基础的函数主线设计

3．1 背景分析

函数是高中数学学习的核心内容，是数学的重要的基础，也是其他学科研究问题和解决问题的工具．函

数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，蕴涵着极其丰富的辩证思想．

必修 1 是在进化论的基础上，学习函数的概念和图象、函数的表示方法、函数的简单性质，体会函数、

方程之间的密切关系，为进一步学习数列、不等式、向量、导数、曲线与方程等知识做好准备．

学习数学是“线性序”活动，但数学本身不是“线性的”，即人们可以从一个知识出发，推出后面的

知识，也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来．也就是说，人们可以从不同的角度出发，从局

部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来．函数思想就是高中数学课程的一条主线，链

接起了高中数学课程的许多内容．

3．2 理解集合的概念

本章的设计思想是从具体实例入手，引出集合的描述性定义，并通过实例进一步引导学生分析和理解

集合的特征，尤其是集合的确定性，并从不同的角度分析集合的表示法。

集合是集合论中原始的、不定义的概念，学生在义务教育阶段就已接触了集合，如：自然数集、有理

数集、实数集等等，只是没有明确提出来．教学中应结合学生已学过的数学内容以及生活中的实例，使学

生感受集合的意义，以及集合语言在描述客观世界中具有某种特性的对象、在数学和数学学习中的价值。

在的教学过程中，要根据具体问题，恰当选择用自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）

表示相应的数学内容，这不仅是学习集合语言的需要，更是培养学生数学语言转换能力的需要。

3．3 理解集合中的关系与运算

集合中的关系包括：元素与集合的属于关系、集合与集合之间的包含(子集)关系、集合与集合之间的

互为补集关系．这三种关系反映了个体与整体、局部与整体、非此即彼的对立的关系

集合的运算是“按照某种确定的规则，由若干个集合得到一个新集合的过程”，包括“补”、“交”、

“并”三种运算．把补集、交集、并集看作是集合运算的结果，使学生对数学运算的含义有了新的认识．新

的运算对象和规则拓宽了学生的视野，为以后学习新的数学运算作了铺垫．在习题中，通过阅读题给出了

两个集合的差的运算，这是补集概念和集合运算的延续，是对补集概念的再认识，让学生进一步体会集合

运算的含义，但不要求学生会求两个集合的差集．

3．4 注重函数概念的建构过程

学生在初学函数以及后续学习中，会遇到很多困难，这与教师在函数概念的教学中所采用的教学方式

有着密切关系．以往教材的呈现方式和课堂讲授方法，虽然能较好地界定函数概念的内涵和外延，但由于

函数概念本身的抽象性，学生接受起来还是有较大的困难．新课标更多地强调在数学情境下，学生主动进

行知识的建构．

函数概念的引入应注意“入口浅”，即教师通过创设符合学生实际的数学情境，从贴近学生实际出发提

供素材．教材中分别用解析法、列表法和图象法给出了三个具体的实例，意在呼应下一节的三种表示法，

寓意深刻．教师也可以结合所教班级的实际再补充一些实例，如加油站给汽车加油时油量与金额之间的关

系、个人所得税与薪金之间的关系等．

因为学生初中对函数已经有了初步的认识，进入高中后又学习了集合的概念与运算，函数的概念引入，

可以从让学生利用集合语言描述函数特征开始，可以设计如下问题串：

问题 1 在上面的例子中，是否确定了函数关系？为什么？

问题 2 在上面的例子中，涉及哪些集合？其中的表格、表达式和图象的作用是什么？

问题 3 如何用集合语言阐述几个实例共同特点？

①你的结论是否正确地概括了例子的共同特征？

②你在初中学习过的函数都有这样的特征吗？

③你现在的认识与初中函数概念是否有本质上的差异？

在进一步体会两个变量之间的依赖关系的基础上，学习用集合的语言来刻画单值对应，领悟函数就是

从一个非空数集到另一个非空数集的单值对应．“箭头图”给出了“单值对应”从一个集合到另一个集合

的方向性，应突出“输入”与“输出”的关系，发展学生的数感、符号感．可以结合课本中旁注的示意图

帮助学生理解符号 f(x)的意义：对应法则 f 对自变量 x 作用．对于给定的函数，要求学生能够用普通语言叙

述其对应法则，例如，函数 f(x)＝2x＋1 的对应法则就是“2 倍加 1”．强调函数符号“y＝f(x)”是“y 是 x

的函数”的数学表示，其含义是“f 对 x 作用得到 y”或“x 被 f 作用得到 y”．应指出 f(a)与 f(x)既有区别

又有联系，f(a)是 f(x)在 x＝a 的情况下的一个函数值，一般地，f(a)是一个特殊值，而 f(x)是一个变量．

3．5 关于映射

以前的教材是用映射来定义函数．事实上，从数学的发展史上来看，是先有函数，再通过函数概念的

一般化，得到了更一般的对应关系——映射．因此映射比函数更抽象．教材就是把映射看成是函数概念的

推广，是先特殊再一般，其目的是考虑与初中知识的自然衔接，同时更符合学生的认知规律．

映射的要求是：了解映射的概念，会借助图形帮助理解映射的概念，并了解函数是两个非空数集之间

的映射．教学时应先从学生熟悉的对应入手，选择一些生活、数学中的“一对多”、“多对多”、“多对

一”、“一对一”的实例，结合图示，引导学生观察、比较，逐步归纳、概括出映射的基本特征，辨析映

射和函数的关系．

教材中没有涉及到象和原象的概念，更没有映射的分类，不要拓宽和加深．

3．6 关于反函数

新教材降低了对反函数的要求，只要求知道指数函数 y＝a

和对数函数 y＝log

x(a＞0，a≠1)互为反函

数．对反函数的一般概念、判断一个函数是否存在反函数以及求函数的反函数等均不作要求．教学中，可

以让学生结合图象体会，不必要对此作过多的研究，对有兴趣的学生，可以指导其阅读教材中链接的内容，

结合对数函数产生的背景，体会求一个函数的反函数的步骤．

3．7 关于幂函数

幂函数是我们生活中既熟悉又陌生的一类函数模型，它的解析式虽然简单，但其性质却比较复杂．新

教材对幂函数的要求不高，只要求会画几个特殊的幂函数(y＝x，y＝x

，y＝x

－1

，y＝x

)的图象，并

能通过图象了解它们的主要性质．

由于学生已经有了学习指数函数、对数函数的经历，给出幂函数的概念后，可以让学生画出五个幂函

数的图象，根据图象，合作探究幂函数的性质．

至于指数的变化对幂函数图象和性质的影响，有条件的学校，可以利用 Excel、几何画板等工具作动

态演示，让学生有感性认识即可．

3．8 函数的应用设计

3．8．1 应用的层次性

由于数学学科本身具有逻辑严密的特点，前面知识的学习为学习后面的知识做准备，因此作为数学知

识中基础性、工具性的函数知识，经常在在后续的其它数学内容的学习中体现出来，应用到现实情境和其

他学科中也是一个必然的结果．由于高中学生学习的知识毕竟有限，这就决定了他们应用数学知识解决现

实问题有一定的局限性，充其量只能解决“准数学问题”，至少是经过人为加工的“半数学化”的问题．但

是，我们应该从函数的应用开始，为培养学生将数学应用到现实生活中的意识搭建平台，从而逐步形成“发

现问题”、“提出问题”、“分析问题”、“解决问题”的能力．逐步培养学生养成运用数学语言的习惯，

进一步提高学生灵活进行“自然语言”和“数学语言(符号语言、图形语言)”相互转化的能力．

3．8．2 应用与基础知识的关系

对高中教学来讲，使学生掌握函数的基础知识是教学的首要目标，应用是以掌握基础知识为前提的．应

用不仅仅是目的，更重要的是过程，即我们不仅要使学生树立起函数的应用意识，认识到函数的广泛应用

性特点和应用价值，具备应用函数解决实际问题的规律性认识和操作性能力，而且还要切切实实让学生在

应用函数中掌握函数的基础知识和数学方法，学会使用数学语言，并受到数学文化的熏陶，逐步养成数学

地观察世界、分析问题、解决问题的习惯．没有扎实的基础知识，就谈不上应用．

3．8．3 应用与活动

数学不同于其他自然科学，它具有逐级抽象的特点．函数也应具有这一一般性特点：从客观实际、现

实世界中发现函数是低级抽象；脱离具体事物的数量关系研究函数是高级抽象．高级抽象是在低级抽象基

础上的进一步抽象，它的研究对象是一种形式化的思想材料，是经过人加工了的思想，是人对自然界的概

括和认识．函数的逐级抽象性的特点，说明了学生学习过程中思维发展的不同阶段和水平，因而函数的学

习活动也是分层次的．函数应用可分为四个层次：①组织数学，即通过学生自己的猜测、探索，从现实问

题情境中发现问题、提炼规律，整体地加以理解，是学生数学地组织经验材料的活动；②一般化，即用数

学语言模式化地去描绘、刻画经验材料，通过对脱离具体事物的数量关系的数学研究，构筑抽象理论意义

的函数思想，是学生组织经验领域的活动，是进一步抽象概括数学材料并提炼数学本质的过程；③函数验

证，即将一般化“发展”的结果以演绎推理的形式系统化、逻辑化的过程；④回归反省，即将抽象出来的

结果应用于实际，用以指导现实生活．

学生亲自感受和经历“发现”函数的过程，也就是数学再创造的过程，唯有以再创造的方式进行学习，

将函数知识的发生发展过程理清，才能象高一阶段迈进．传统的数学课程只是按照以形式化了的现成的数

学规则去操作，现在的数学新课程强调了经验材料的数学组织和数学的应用．

“函数的应用”是一个非常广泛的的话题，不仅是课程、教学思想的问题，还应该在教学中培养学生

的应用意识，在平时的教学中去实现．

3．8．4 应用与信息技术

计算机(器)的普及，为数学的应用提供了先进的计算工具，更便于处理实际数据，使应用问题更加真

实，切合实际；利用信息技术辅助课堂教学，可以使抽象的数学知识以直观的形式出现，能更好地帮助学

生思考知识间的联系，促进新的认知结构的形成；良好的演示平台，使数学应用有了广阔的空间，计算机

的动态变化可以将形与数有机结合起来，把运动和变化展现在学生面前，使学生由形象的认识提高为抽象

的概括，这对于培养学生良好的思维习惯会起到很好的效果．

但是也应注意，计算机的演示只能是帮助学生思考，而不能代替学生思考．在信息技术环境发展的

背景下，教师应当以学生为中心，以问题共同解决、培养能力为中心，恰当地给予提示，引导学生进行

合作学习，结合计算机的演示帮助学生完成思考过程，形成对概念的理解．

4 同一背景下知识生成因子设计

教材中多次出现了在同一背景下提出新问题、生成新知识的设计，例如，第二章中，由气温曲线分别

引出了函数的概念、单调性、甚至最大(小)值；第三章中，细胞分裂、放射性物质的剩留量模型，既是建

立指数运算、指数函数的范例，又是引出对数概念，建立对数函数的情境．这样的设计，意在培养学生用

数学的眼光观察世界，数学地分析、思考问题的品质，体现了数学来源于实际，又服务于实际的特点．

通过本模块的学习，逐步培养学生养成用数学的观点和思维准确、清晰、有条理地表述问题、解决问

题的习惯，感受数学的形式化、符号化特征，形成、提高数学表达和交流的能力，体会数学与现实世界有

着重要的联系，明白数学是一个需要暂时脱离物质运动形式进行研究的具有“高度抽象性”的学科，比解

决具体的实际问题深刻的多，逐步形成辩证的思维品质．

2014.04.18 发表在《教学与研究》