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例谈数学直觉思维在高中数学中的应用

江苏省南京市金陵中学　王友伟

摘　要：

笔者在阅读了《徐利治谈治学方法与数学教育》后，将自己的所思所想从“立

体几何中概念和定理的发现”、“对函数图象的认识”、“椭圆问题中的常见结论”、“解

题时的直观判断”四个方面通过实例进行了论述，阐述了数学直觉思维在中学数学中的应用。

关键词：

数学；直觉思维；应用

最近，笔者阅读了徐利治教授所著的《徐利治谈治学方

法与数学教育》一书，里面谈到了高等学校数学教育中培养

数学直觉对数学教育的重要性，笔者以为对于中学生数学直

觉的培养非常重要。中学数学的枯燥与无聊大概是由于过多

的强调逻辑思维的培养，而忽略直觉思维的培养所造成的，

在学生的逻辑思维能力达不到的情况下，要让学生能够热爱

和喜欢数学，应先让其能够通过数学直觉思维去看待数学和

欣赏数学，再让其走进数学，即通过逻辑思维去理解数学 .

数学直觉是人脑对于数学对象事物（结构及其关系）的

某种直接的领悟或洞察，其往往产生于经验、观察、归纳、

类比和联想的基础之上，有时以心理学上的“顿悟”形式出现，

具有“了解事物整体”的作用，还具有将细节“组合成和谐

性整体”的功能 . 数学直觉至少可以划分为辨识直觉、关联

直觉和审美直觉三种类型 . 辨识直觉解决的是新想法是否值

得去发展，关联直觉解决的是不同知识领域之间的内在联系

的问题，审美直觉解决的是新想法是否符合数学美的要求的

问题 . 数学直觉的指导性原则包括简单性原则、统一性原则、

对称性原则和奇异性原则 .

下面笔者就在拜读了徐利治教授的书之后谈谈直觉思维

在高中数学里的应用 .

1．立体几何中概念和定理的发现

对空间几何的直观认知在学习空间几何体这部分内容有

着重要的作用 . 在尚未学习直线和平面平行、直线和平面垂

直、平面和平面平行以及平面和平面垂直的概念的时候，大

部分学生已经能够对这几个概念有了直观的感知，能够通过

几何图形认识到线面、面面平行和垂直的大致特征，只是还

不能够严格的用数学语言进行表述，但这对学生学好该部分

内容非常重要 .

立体几何的另一个难点就是定理的发现与应用，笔者以

为关键点就是发现这些定理 . 在学习线面平行的判定定理的

时候，可通过开关门让学生发现定理的内容；学习线面垂直

的判定定理的时候，可让学生借助摆弄笔去感受定理中关键

点是两条相交直线；在学习面面垂直的判定定理的时候，可

让学生观察通过已知平面的一条垂线的平面与该已知平面的

位置关系而得到；在学习面面垂直的性质定理的时候，学生

能够直观感受一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂

直对于定理的发现和掌握非常重要等等 .

2．对函数图象的认识

函数这部分内容，一直是高中数学里的重点和难点 . 在

解决函数问题的时候经常需要画图 . 除了常见一些函数以外，

很多函数图象需要学生去仔细研究，尤其需要直观判断的时

候容易出错 . 由于中学里还没有学习洛必达法则，所以很多

图象在趋向于无穷时候的图象需要通过对函数图象的直观认

识去判断 . 例如函数

ln x

的图象，在教学时，笔者发现

学生基本上都能通过求导判断出该函数在（0，

）时单调递

增，在 (

∞

) 时单调递减 . 但是进一步画出图象的时候很

少有人能够做对，根本问题在于当 x 趋向于 0 和 x 趋向于正

无穷时图象的判断错误，此时需要学生有较好的函数图象的

直觉思维 . 当 x 趋向于 0 的时候，ln

趋向于负无穷，所以

ln x

也趋向于负无穷；当 x 趋向于正无穷时，ln

亦趋向于

正无穷，由于 ln

增长速度较之 x 增长较慢，引导学生能够

直观感觉到

ln x

趋向于 0，也就是说 x 轴是一条渐近线 . 这

也是高考解答题考察零点问题时不允许转化为画出两个函数

图象，求出交点个数的问题的原因 . 另一个常见的错误就是

函数当 0 ＜

＜1

时，函数

y=a

与

log

yx=

的图象交点个

数问题，这就是对函数图象的直观认识还不够造成的 . 实际

上，当

小到一定程度时，根据

y=a

与

log

yx=

图象的弯

曲程度，会有 3 个交点的情形出现 . 类似的情形还有很多，

在此不一一列举 .

3. 椭圆问题中的常见结论

解析几何问题对学生来讲也是一个难点，里面蕴藏了

大量的结论，尤以定点、定值和定直线问题居多 . 在解题时

如果能够直观的认识到某些固定的结论那将事半功倍，也能

够使学生学习这部分内容更有信心和兴趣 . 解析几何中最常

见的结论就是高等数学中极点和极线的应用，该内容不仅在

高考中大量的出现，在平时模拟卷以及竞赛试题中也屡见不

鲜 . 如果学生能够了解这些内容，并在做题中能够直观感觉

到隐藏在图形中的极点和极线，那将使问题变得容易多了 . 徐

利治教授把从事数学问题的解决比作是人在迷雾中摸索前进，

需要用眼睛辨识方向，要靠双腿迈向目的地，直觉就好比眼睛，

起到向导领路作用，逻辑就是双腿……

此外，由于椭圆可以看成是由圆压扁而成的，所以圆里

面的某些结论也在椭圆中有所体现，如中点弦的结论，切线

的结论 . 所以在教学中，应当培养学生在这方面的直觉认识，

这样学生会更有兴趣的去学习和研究这部分内容 .

4. 解题时的直观判断

我们知道周长一定的封闭图形中圆的面积最小，大部分

人只是一种直观判断 . 当碰到较难的问题时，可以引导学生

通过直觉判断可能出现的特殊情形 . 如碰到三角形问题时，

可以利用等边三角形的特殊性去解决；在遇到平行四边形的

问题时，也可以尝试用矩形的情形去解决；数列问题也可以

通过常数列去解决等等 .

总之，直觉思维不仅在学习过程中有着重要的作用，

在解题时也扮演着不可或缺的角色 .

Poincare

认为：逻辑可

以告诉我们走这条路或那条路保证不遇到任何障碍，但是它

不能告诉我们哪一条路能引导我们到达目的地 . 因此，必须

从远处瞭望目标……瞭望的本领是直觉，没有直觉，数学家

就会像这样的一个作家：他只是按语法写诗，但是却毫无思

想.

Hadamard

亦曾指出：许多数学上的创造性成果可以看成

为通过数学直觉俘获来的“战利品”，而逻辑好比是“关卡”，

在这里起到了验收战利品的作用 .