大数据背景下高中数学解题教学探究
——以一道解析几何题的讲评为例
于 健 郭建华 南京市金陵中学 210005
“数据驱动学校，分析变革教育”的大数据时代已经来临，教考中教师对学生答题情况，由传统的记录、
分析和对比，到应用“智学”等教学软件和系统，用客观数据代替了经验性判断，对学生的答题情况了解更加
精准，更利于教师对教学策略的优化调整、教学方式的改进以及对重难点、易错点的准确把握．教师用数据分
析学生知识和方法的缺失，真正实现了个性化、科 学化和精准化的教学．本文以我校期中考试的一道解析几何
题的讲评为例予以说明．
1 试题再现
在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：
x
2
a
2
＋
y
2
b
2
＝1(a＞b＞0)的离心率为
2
2
，且经过点 A(1，
2
2
)．
(1)求椭圆 C 的方程；
(2)设 F 为椭圆 C 的右焦点，直线 l 与椭圆 C 相切于点 P(点 P 在第一象限)，过原点 O 作直线 l 的平行线
与直线 PF 相交于点 Q，问：线段 PQ 的长是否为定值?若是，求出定值；若不是，说明理由．
2 试题分析
本题围绕直线和椭圆相切相交、直线和直线平行相交等位置关系，考查两动点间距离定值的计算问
题．考查考生方程思想、数形结合等思想方法．考查考生理解运算对象、掌握方程联立韦达定理运用等运算
法则、探究运算思路、运用符号运算求得运算结果的运算素养．
本题满分 12 分，全校均分为 7.34 分，得分率为 61.19%，第(2)问满分 8 分，整体均分不到 3.73 分．从第
(2)问的答题反馈看主要是运算出了问题：方法选择呆板、笨拙；运算肤浅、耐力不足，浅尝辄止、半途而
废；联想、转化意识欠缺，不能根据现有信息，处理数式 ．讲评时应重视运算算理和算法的指导．从答题方
法而言，大部分学生选择的通性通法，即设点 P 的坐标，进而表示直线 l 的斜率，根据直线 PF 方程和 OQ
方程联立求点 Q 坐标，再计算线段 PQ 的长．也有少部分同学打破思维固化的枷锁，进行创新解题，抓住两
直线的平行关系，利用三角形相似求解，简捷明快,使得解法耳目一新．讲评时应加强引导学生对图形特征分
析、几何元素和几何性质的探究，充分利用数形结合解题．还应力求在算法思想的层面上指导学生，形成解
析几何的运算策略，提高学生的元认知能力，提升创新意识，从而巩固四基，发展四能．
3 解法探究
第(1)问答案为
x
2
2
＋y
2
＝1，下面针对第(2)的解法进行如下探究．
解法 1 如图 1 所示，设直线 l 的方程为 y＝kx＋m，与
x
2
2
＋y
2
＝1 联立，
消元 y 并整理得(2k
2
＋1)x
2
＋4mkx＋2m
2
－2＝0，
因为直线 l 与椭圆 M 相切，所以 Δ＝(4mk)
2
－4(2m
2
－2)(2k
2
＋1)＝0，
化简得 m
2
＝2k
2
＋1．
设 P(x
P
，y
P
)，则 x
P
＝
－2mk
2k
2
＋1
＝
－2k
m
，y
P
＝k·
－2k
m
＋m＝
1
m
，
即 P(
－2k
m
，
1
m
)．
当点 P 为(1，
2
2
)时，Q(1，－
2
2
)，PQ＝ 2．
当点 P 不为(1，
2
2
)时，直线 PF 方程为 y＝－
1
2k＋m
(x－1)，与 y＝kx 联立，
解得 x
Q
＝
1
2k
2
＋mk＋1
＝
1
m(m＋k)
．
于是 PQ＝ (x
P
－x
Q
)
2
＋(y
P
－y
Q
)
2
图 1
＝ 1＋
1
(2k＋m)
2
·|x
P
－x
Q
|
＝ 1＋
1
(2k＋m)
2
·|
－2k
m
－
1
m(m＋k)
|
＝
4k
2
＋4mk＋m
2
＋1
(2k＋m)
2
·|
2k
2
＋2mk＋1
m(m＋k)
|
(将 m
2
＝2k
2
＋1 代入，关键换 1)
＝
2k
2
＋4mk＋2m
2
(2k＋m)
2
·|
m
2
＋2mk
m(m＋k)
|
＝ 2．
综上，线段 PQ 的长为定值 2．
评析 数据显示运用解法 1 时：有百分之 30%的同学没有把点 P(
－2k
m
，
1
m
)表示出来；表示点 Q 坐标 x
Q
＝
1
2k
2
＋mk＋1
没有把 m
2
＝2k
2
＋1 代入化简，导致运算量越来越大，以致无功而返．
解法 2 设 P(x
P
，y
P
)，则
x
P
2
2
＋y
P
2
＝1．
设 l：y－y
P
＝k(x－x
P
)，与
x
2
2
＋y
2
＝1 联立，令 Δ＝0，得 k＝
－x
P
2y
P
．
当 x
P
＝1 时，易得 PQ＝ 2．
当 x
P
≠1 时，直线 PF：y＝
y
P
x
P
－1
(x－1)，与 y＝
－x
P
2y
P
x 联立，解得 x
Q
＝
2y
P
2
x
P
2
＋2y
P
2
－x
P
＝
2－x
P
2
2－x
P
．
于是 PQ
2
＝[1＋(
y
P
x
P
－1
)
2
]·(x
P
－x
Q
)
2
＝[1＋(
y
P
x
P
－1
)
2
]·(x
P
－
2－x
P
2
2－x
P
)
2
＝
x
P
2
－2x
P
＋1＋y
P
2
(x
P
－1)
2
·(
2x
P
－x
P
2
－2＋x
P
2
2－x
P
)
2
＝4·
x
P
2
－2x
P
＋1＋1－
x
P
2
2
(2－x
P
)
2
＝2，
故 PQ＝ 2．
评析 数据显示运用解法 2，约 50%的同学设 P(x
P
，y
P
)，设 l：y－y
P
＝k(x－x
P
)，与
x
2
2
＋y
2
＝1 联立，令 Δ
＝0，得 k＝
－x
P
2y
P
．其实这部分的运算量还是比较大的，部分同学背结论椭圆在点 P 处的切线方程为：
x
P
x
a
2
＋
y
P
y
b
2
＝1，从而假算得 k＝
－x
P
2y
P
．还有约 20%的同学算得 x
Q
＝
2y
P
2
x
P
2
＋2y
P
2
－x
P
没有把
x
P
2
2
＋y
P
2
＝1 代入化
简，导致算不到底．
解法 3 如图 2 所示，同解法 1 得 P(
－2k
m
，
1
m
)．
延长切线 l 交 x 轴于点 E(－
m
k
，0)．
易知△OFQ∽△EFP，所以
PF
PQ
＝
EF
OE
，即
PF
PQ
＝
－
m
k
－1
－
m
k
＝1＋
k
m
，
图 2
于是 PQ＝
m
m＋k
·PF＝
m
m＋k
·( a－ex
P
)＝
m
m＋k
·[ 2－
2
2
(
－2k
m
)]＝
m
m＋k
·
2 (m＋k)
m
＝ 2．
评析 结合图形特征，将切线 l 延长交坐标轴于点 E，利用△OFQ∽△EFP，较快地表示出了线段 PQ 的
长度．与解法 1 解法 2 相比较节省了一定量的解题路径，遗憾的是只有约 3%的同学运用此法．
在命题者的立意中，往往体现得非常明确，但是在命题设计的情境、命题的设问中，都不会明确地提出
来，运算求解能力体现在考试命题中具有相对隐蔽性， 因此教师教学过程中，不能仅将学生的注意力集中在
对运算法则的记忆、运算过程的技巧训练上，只追求学生算得又快又对而缺少对运算意义的了解，以及对算
理算法的理解和掌握 ．
4 变式探究
教学中教会学生通性通法应形成“章法”，不应“盲目乱想乱写”．这里的章法包括先“形”后
“数”，先“特殊”后“一般”，先“慢选择”后“快计算”．
解题教学不能只是“短平快”，还应“慢研究”． 数学问题的解决 ，并不意味着这个问题思维活动已
经结束 ，而却意味着对这个问题进行深入研究的开始．比如：本试题 PQ 长度结果恰好为椭圆的“实半
轴”，是偶然吗?由此提出以下命题进行探究：
命题 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知椭圆 C：
x
2
a
2
＋
y
2
b
2
＝1(a＞b＞0)，设 F 为椭圆 C 的右焦点，直线 l
与椭圆 C 相切于点 P(点 P 在第一象限)．若过原点 O 作直线 l 的平行线与直线 PF 相交于点 Q ，则 PQ＝a．
证明 如图 3 所示，设直线 l：y＝kx＋t，且与 x 轴交于点 A，
易得 A (－
t
k
，0)，
联立椭圆 C：
x
2
a
2
＋
y
2
b
2
＝1 并消去 y，
得(b
2
＋a
2
k
2
)x
2
＋2a
2
ktx＋a
2
(t
2
－b
2
)＝0，
又直线 l 与双曲线 D 相切于点 P，
故 Δ＝(2a
2
kt)
2
－4a
2
(t
2
－b
2
)(b
2
＋a
2
k
2
)＝0，化简得 t
2
＝a
2
k
2
＋b
2
，
设点 P 的横坐标为 x
0
(x
0
＞0)，由韦达定理得 2x
0
＝－
2a
2
kt
b
2
＋a
2
k
2
，
即 x
0
＝
－a
2
kt
b
2
＋a
2
k
2
＝
－a
2
k
t
，
易证△APF∽△OQF，所以
QF
FP
＝
OF
AF
，故
PQ
FP
＝
OA
AF
，
即 PQ＝
OA
AF
×FP＝
－
t
k
c＋
t
k
(ex
0
－a)＝
－
t
k
－
t
k
－c
[a－
c
a
×(－
a
2
k
t
)]＝
t
ck＋t
×
a(ck＋t)
t
＝a．
故 PQ＝a．
命题 2 在平面直角坐标系 xOy 中，已知双曲线 D：
x
2
a
2
－
y
2
b
2
＝1(a＞0，b＞0)，设 F 为抛物线 D 的右焦点，
直线 l 与双曲线 D 相切于点 P(点 P 在第一象限)．若过原点 O 作直线 l 的平行线与直线 PF 相交于点 Q，
则 PQ＝a．
证明 如图 4 所示，设直线 l：y＝kx＋t，且与 x 轴交于点 A，易得 A (－
t
k
，0)，
联立双曲线 D：
x
2
a
2
－
y
2
b
2
＝1 并消去 y，
得(b
2
－a
2
k
2
)x
2
－2a
2
ktx－a
2
(t
2
＋b
2
)＝0，
又直线 l 与双曲线 D 相切于点 P，
图 3
图 4
故 Δ＝(2a
2
kt)
2
＋4a
2
(b
2
＋t
2
)(b
2
－a
2
k
2
)＝0，化简得 t
2
＝a
2
k
2
－b
2
，
设点 P 的横坐标为 x
0
(x
0
＞0)，由韦达定理得 2x
0
＝－
－2a
2
kt
b
2
－a
2
k
2
，
即 x
0
＝
a
2
kt
b
2
－a
2
k
2
＝
－a
2
k
t
，
易证△APF∽△OQF，故
PQ
FP
＝
OA
AF
，
即 PQ＝
OA
AF
FP＝
－
t
k
c＋
t
k
(ex
0
－a)＝
－
t
k
c＋
t
k
[
c
a
×(－
a
2
k
t
)－a]＝
t
ck＋t
×
a(ck＋t)
t
＝a．
故 PQ＝a．
命题 3 在平面直角坐标系 xOy 中，已知抛物线 E：y
2
＝2px(p＞0)，设 F 为抛物线 E 的右焦点，直线 l 与
抛物线 E 相切于点 P (点 P 在第一象限)．若过原点 O 作直线 l 的平行线与直线 PF 相交于点 Q，则 FQ＝
p
2
．
证明 如图 5 所示，设直线 l：y＝kx＋t，且与 x 轴交于点 A，
易得 A(－
t
k
，0)，
联立双曲线 E：y
2
＝2px(p＞0)并消去 y，
得 k
2
x
2
＋2(kt－p)x＋t
2
＝0，
又直线 l 与双曲线 D 相切于点 P，
故 Δ＝(2kt－2p)
2
－4t
2
k
2
＝0，化简得 p＝2kt，
设点 P 的横坐标为 x
0
(x
0
＞0)，由韦达定理得 2x
0
＝－
2kt－2p
k
2
，
即 x
0
＝
p－kt
k
2
，
易证△APF∽△OQF，故
FQ
FP
＝
OF
AF
，
即 FQ＝
OF
FA
×PF＝
p
2
p
2
＋
t
k
(x
0
＋
p
2
)＝
pk
pk＋2t
×(
p－kt
k
2
＋
p
2
)＝
pk
pk＋2t
×
2kt＋pk
2
2k
2
＝
p
2
． 故 PQ＝
p
2
．
评析 通过变式探究，既将同结构问题进行了推广，丰富学生的知识结构，同时又加深了学生对数形结合
思想的理解应用，发展了学生的数学抽象能力．教师带领同学进行圆锥曲线中平行弦问题的探究和揭秘，对开
启学生的实践能力和创新意识也是大有裨益的．
5 类题推送
大数据与教学的深度融合，为教与学提供精准服务，让教师全面了解每个学生的答题情况，为学生制定
“个性化”的“补偿性”练习，以巩固和检测学习效果．下面是“智学”系统通过分析学生的答题情况，推送
给学生“相似题组”供学生再训练．
(1)若点 P 是椭圆 C：
x
2
a
2
＋
y
2
b
2
＝1(a＞b＞0)上的一个动点，O 是椭圆的中心，过椭圆的左顶点 A 且平行于弦
OP 的直线交椭圆于点 M，与 y 轴交于点 N，
证明：
2
2
AM AN
OP
．
图 5
(2) CD 是椭圆
x
2
a
2
＋
y
2
b
2
＝1(a＞b＞0)的一条直径，过椭圆的左顶点 A 作 CD 的平行线，交椭圆于另一点 N，
与 y 轴交于点 M，证明：|AM|·|AN|＝|CO|·|CD|
6 几点思考
6.1 经历数学发现和探究，注重算理算法的理解和掌握
对于具有典型性和解法多样性的题目，除了要教给学生研究解决问题的基本套路，还应加强对运算意义
的了解，以及对算理算法的理解和掌握 ．案例研究表明，清晰的算法思想和对运算过程的预判、调整是提高
解析几何解答题运算求解能力的根本，这有益于培养学生发现和提出问题，分析和解决问题的能力．当他们
面临新的问题时，才不会感觉束手无策．数学解题教学课堂要敢于放手让学生探究，追求“慢”教学，要以
学生发展为本，在教学过程中不断设置有利于激发学习潜能，锻炼学生思维的问题和情境，实现课堂效益最
大化．另外，数学教学内容的呈现还要利于学生自主探究，在交流互动中体验知识的产生和发展，在思维碰
撞中经历数学的发现和创造．只有“慢”教学，才能让知识的剖析更为细腻，让习题的辐射更为广泛，让学
生的体验更为深刻，才能为学生提供更多的“思”、“说”、“做”的时间和空间．没有数学思考，就没有
真正的数学学习，让学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才可达到对知识有较高程度的掌握．
6.2 加强解题回顾和总结，完善解题认知结构
提高学生的解题能力是数学解题教学的重要目的，只有完善学生的解题认知结构，才可以达到这一目
的．解题认知结构由以下三个方面组成：解题知识结构、思维机构和解题元认知结构．解题知识结构包括组
织良好的数学知识结构和解题知识块．解题知识块包括“问题类型、基本数学模式、基本问题、一般的方法
和特殊的技巧等”；解题的思维结构包括一般思维方法、数学思想方法与数学解题策略等；解题的元认知，
由主题的元认知结构和元认知监控等．借助大数据分析，明白学生缺失的是什么?应采取什么对策?学生解题
的认知结构如何完善?如何完善?解题认知结构形成的最有效的时机就是解题后的归纳、反思、提炼和总
结．一题多解是完善学生认知结构的有效途径，将问题所考的知识和方法进行纵横联系，相互渗透，在反思
中总结，在总结中提炼，不断积累解题的活动经验，提升学生的解题能力．
利用大数据分析，更有针对性的指导学生，有利于积极探索多样化的教学方式，以较好满足学生的个性
化需求．根据大数据的诊断，面对学生的问题教师更能有效地精准教学，增强实效，利于发展学生的数学核
心素养．
参考文献：
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涂荣豹．数学解题学习中的元认知
[J]
．数学教育学报，
2001
，
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[2]
董林伟．倾听学生的思考：例谈运算能力及其培养途径
[J]
．数学通报，
2009(
9
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余建国．基于算法思想的解析几何运算策略案例研究
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．中学数学
(
上
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郭建华．注重“微”探究，追求“慢”教学
[J]
．中小学数学
(
高中
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，
2016(11)
基金项目：
1．南京市教育科学 “十三五” 规划 2018 年度立项课题“大数据分析背景下高中数学教与学行为变革
的实践研究”(编号：L/2018/235)研究成果之一．
2． 南京市教研立项课题“大数据与高中数学教学效益的研究”((2017NJJK12－L12)研究成果之一．
(本文发表于《数学之友》2020 年第 24 期)
