朱建廉
南京市金陵中学
谈教学研究的智慧路径
——以基于“植树问题”的教学研究为例
未子教育
面向未来
摘要：“学科教学”先天性的具备“教师的教”、“学生
的学”和作为其间媒介的“教学内容”等三要素，所以针对
“学科教学”而实施的“教学研究”实际上就是分别研究“教
师的教”、研究“学生的学”和研究联系“教”与“学”的媒
介“教学内容”。考虑到“教学内容”与因为涉及到能动的人
而极具复杂性的另两个要素相比要相对稳定和相对简单，同时
考虑到相对稳定和相对简单的“教学内容”的联系另两个要素
的媒介功能，所以把三个要素共同组装起来的“学科教学”整
体认定为是具有“哑铃”的外观特征，从而自然的认定了基于
“学科教学”而实施研究的智慧路径，即：从“教学内容”的
研究切入，“抓住中间而带起两头”。
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背景：应邀为云南省昆明市的小学骨干教师培训班做讲座，
讲座的主题按照邀请方的安排而确定为“教学研究与教师发展”。
讲座的上半场从理性的层面而针对“教学研究”进行了策略性剖
析，关于实施“教学研究”的智慧路径问题而提出了所谓的“哑
铃理论”，受众们听起来倒也还算得上是津津有味，可中场休息
时有学员反映希望得到一些鲜活的案例。
于是，讲座的下半场便请
学员们举其教学实践中颇为得意、或倍感困惑的教学片段为例，
而由讲座人现场针对相关案例进行教学研究的线索梳理，从而让
学员们能够在鲜活的案例当中进行教学研究的直接体验。
踌躇了片刻，
便有一位学员提出了他在所谓“植树问题”的教学实践中所感受
到的困惑，并希望讲座人能够在基于“教学研究”的层面上帮其
解惑而给予指导。因此，讲座的后半场便围绕着“植树问题”的
具体案例来进行基于“教学研究”的理性剖析和感性运作，使得
受众们较为普遍的有所感悟和有所收获。
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0、植树问题的提出
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应邀为小学骨干教师培训班开设讲座，讲座的主题是所谓“教学研究”
问题。由于讲座人是任教高中阶段的物理课而不很熟悉在小学阶段的教学实
践中频发的困惑，所以就只能针对课堂的一般性要素而在理性的层面上泛泛
的谈论“教学研究”的基本原则、目标指向和相应策略。尽管受众们听起来
还算得上是津津有味，但纯理性的逻辑推演还是与受众们的思维习惯和表述
习惯形成了一定的落差。
于是，应部分学员的要求在讲座的下半场调整讲座内容与方式：先请学
员们针对自己的教学实践而提出问题与困惑，然后再由讲座人根据“教学研
究”的相关理论作相应的教学研究示例。踌躇了片刻，便有学员站起来提出
了一个教学实践中经常被整合为小学低年段数学课堂上的教学资源的“植树
问题”而如下所述，即
植树问题：每隔1米种植1棵小树，则在10米长的直线上
最多可以种植多少棵小树？
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为了把相应问题的教学处置更为精细的弄清楚，当
然也是为针对如是之问题而展开深入的教学研究活动争
取一点时间，笔者（记为B）与提出“植树问题”的学员
（记为A）有如下一段对话（在后续的研究过程中参与应
对的学员很多，为了表述上的渐变起见，本文把众多参
与讨论的学员都简单的记为A，特此说明）。
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B：嗯！这好像是一个比较经典的老问题，因为印象当中
我的小学老师就曾经给我们讲过这样的问题。只是，您在教学
实践中是怎样处置的呢？在您的教学处置过程中又有怎样的值
得进一步深入研究的困惑与不解呢？
A：哦！是这样的：当老师出示“植树问题”后，通常就
会有学生脱口说出“10棵”的错误结论；当老师指出其正确结
论应该是“11棵”时，往往还会有一部分同学面呈疑惑之色；
当老师在黑板上画上一条“10米”长的直线，然后领着同学们
从线的左端点开始而每隔“1米”种植“1棵”树，直到线的右
端点而一共种植了“11棵”树后，大家才对“11棵”的正确结
论真正有所领悟。
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B：伴随着您的描述而在我们的脑海里再现了您的课堂情
景，而这样的情景又让我们有理由认定：您的教学处置是可以
被认可的，甚至是可以被认为是比较智慧的。对于这样的教学
片段，您还有什么困惑需要提交给大家作进一步的深入研究吗？
A：哦！我的困惑与不解是：为什么如此简单的问题学生
还会犯如此低级的错误而脱口说出“10棵”的错误结论呢？为
什么如此简单问题的教学处置还非得由老师领着同学们在黑板
上演示植树的全过程方能够说服全体同学而对“11棵”的正确
结论深信不疑呢？
B：你的这两个问题提的太好了！只是，你居然会把“植
树问题”认定为是一个“如此简单的问题”、你居然会认定如
此简单的“植树问题”其正确结论是“11棵”而不是“10棵”、
你居然会对有些同学针对“植树问题”而应声回答“10棵”的
缘由倍感困惑等，却是使我略感吃惊。
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A：我被搞糊涂了：难道“植树问题”还会是什么复杂问
题吗？难道把“植树问题”的正确结论认定为是“11棵”还会
有什么错吗？对如此简单的问题和如此明显的结论居然会有学
生脱口回答明显错误的“10棵”这难道还不能引发好奇吗？
B：看现场的气氛好像您的困惑是大家所共有的，那我们
一起走进关于“植树问题”的教学研究中去吧。只是，我们需
要针对所谓“植树问题”作分层次的逐步深入研究。
A：深入研究？分层次逐步深入研究？
……
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1、基于“教学内容”而质疑：
究竟能植多少棵？
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B：让我们先行复习一下刚才所说到的基于“教学研究”
的“哑铃理论”吧：由于教学现场先天性具有“教师的教”、
“学生的学”和“教学内容”等三个要素，前两个要素与能动
的人相关而比较复杂，“教学内容”作为联系“教师的教”和
“学生的学”的媒介而相对稳定、相对简单，所以这三个要素
组装起来的“学科教学”整体在外观上就像是“中间细而两头
粗”的“哑铃”形状，考虑到人们拿取“哑铃”多为“抓住中
间而带起两头”的方式，所以我们针对外形与“哑铃”相似的
“学科教学”实施研究时通常也应该从相对稳定、相对简单的
“教学内容”的研究开始。
A：可针对如此简单的“教学内容”我们如何研究呢？
B：几乎所有的研究都是从质疑开始。所以，针对“植树
问题”及其常态教学实践中的教学处置，我提出的质疑是：究
竟能植多少棵？
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A：（在学员们纷纷议论的嘈杂声中表露出了极大的困惑，
说）“植树问提”的正确结论是“11棵”难道还要被怀疑吗？
B：哦！向“有疑”处“质疑”，其价值肯定不高；向
“无疑”处“质疑”，其价值才能不菲。
A：问题是那必须能够“质”的出“疑”来呀！
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B：别着急，让我们用作于“研究”的“理性思维”沿着
如是之路径走一趟吧，即：第一，把“10米”长的直线段延长
至3倍而构成3个“10米”；第二，假设“植树问题”的正确结
论真的是“11棵”；第三，那么左侧的“10米”能植树“10棵”
而右侧的“11米”也能植树“11棵”；第四，在这基础上让我
们来考察中间的“10米”还能够植几棵树……哎呀！中间的
“10米”只能植树“9棵”了！第五，现在大家对“植树问题”
的那“11棵”的结论还会持原来的坚信不疑之态度吗？
A：（此时的讲座现场可以用“沸腾”二字来描绘）哎呀！
看来这“植树问题”的正确结论好像应该改为“10棵”了？老
师，您觉得应该是几棵？
……
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2、基于“教师的教”而研究：
十米究竟有多长？
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B：其实，关于“植树问题”所对应的正确结论究竟是几
棵真的并不重要，重要的却应该是另一个更为基础性的问题。
A：什么问题？
B：教师把“植树问题”提交给同学们解决，应该是建立
在一个前提基础上的，即：默认了同学们已然知晓“10米究竟
有多长？”也就是说：一个不知道“10米究竟有多长”的人是
不具备回答“10米长的直线上最多能植几棵树”的问题之资格
的。大家说是吗？
A：（众学员纷纷点头认可）是。
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B：可是，把“植树问题”整合为小学低年段的数学课教学资源的教师们，
却恰恰忽视了“10米究竟有多长”的基本问题。由于生活语言中对“10米”长
并未给出十分严格的界定，所以在如表1所给出的四种定义当中，无论是坐标
轴上从“0”到“10”并包含两个端点在内的定义1之闭区间[0，10]（单位为：m。
下同），或者是坐标轴上从“0”到“10”但不包括两个端点在内的定义2之开区
间（0，10），或者是坐标轴上从“0”到“10”且只包括其中一个端点在内的定
义3和定义4之半开区间（0，10]和[0，10），其实都被粗略的认定为是“10米”
长，即
表1：生活语境中的“10米”长之粗略认定
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B：在明确认定了“10米究竟有多长”的基础之上，“植树
问题”的正确结论便自然而被明确为：若只把表1中定义1的闭区
间认定为是“10米”长，则“植树问题”的正确结论当然应该是
“11棵”；若只把表1中定义2的开区间认定为是“10米”长，则
“植树问题”的正确结论就应该是“9棵”；若只把表1中定义3
和定义4的半开区间认定为是“10米”长，则“植树问题”的正
确结论就变成了“10棵”；由于生活语境中对“10米”长度的界
定并不是十分严格而把表1中四种定义情况都称作为“10米”，
所以对应的植树之数量就应该分别为“11棵”、“9棵”、“10棵”
和“10棵”，而考虑到在“植树问题”中所问的植树数量是所谓
的“最多”，因此就应该把“11棵”作为其最佳的选择。
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B：然而，若把语言环境移植到数学领域，则由于数学语境
中的“10米”长度需要精细而精准的界定，尽管生活语境中把表
1中所定义的四种情况都称作为“10米”长，但在严谨的数学语
境中却被严肃并严格的区分开来而如表2所给出，即
表2：数学语境中的“10米”长之精准界定
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B：显然，由于数学语境中只把后两种半开区间界定为是
“10米”长，所以“植树问题”在严格的数学意义上其正确结
论就只能是“10棵”。
A：哎呀！没承想学生脱口说出的、而一直被我们认定为
是错误的“10棵”反倒成了正确结论。
……
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3、基于“学生的学”而探寻：
应声而答之缘由？
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B：是的，在“植树问题”的教学案例中能够给予我们的
最有价值的忠告那就是：切莫轻视学生的那种在行为本质上其
实可以被界定为是所谓的“本能反应”的应声而答。因为学生
的“应声而答”那一定是存在着某种合乎情理的深层次缘由的。
A：正因为其“缘由”所属层次较“深”，所以才构成了
我们最大的困惑，希望您能帮助我们拨开云雾而显示其原形。
B：我也只是发表一家之说而供大家参考。先请大家考察
所谓的“分苹果问题”，即
分苹果问题：如果给每位小朋友分配一个苹果，那么篮
子里的10个苹果可以分配给几位小朋友享用？
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A：这……这更为简单的“分苹果问题”孩子们于幼儿园
时期就已经能够解决，难道和我们的“植树问题”有什么关联
吗？
B：当然，我们的“植树问题”的正向表述是把“树”种
植在“线”上，可如果我们将其作所谓的逆向表述而把“线”
分配给“树”则又会怎样呢？
A：哦！那就成为与“分苹果问题”完全相似的“分线段
问题”了，即
分线段问题：如果给每棵小树分配1米长的线段，那么
10米长的线段可以分配给几棵小树？
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B：太好了！能够把正向表述的“植树问题”转译成为逆
向表述的“分线段问题”，那么对学生针对“植树问题”而应
声回答“10棵”的困惑也便会迎刃而解了，是吗？
A：（现场又一次呈现出因恍然而热烈起来的状况）是的。
……
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4、结语
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考虑到作为教师主体性职业行为的“学科教学”其结构具备
着形如（*）式所示之特征，即
学科教学 → 教师的教 + 教学内容 + 学生的学 （*）
同时考虑到相对稳定、相对简单的“教学内容”实际上是联系较
为灵动、较为复杂的“教师的教”和“学生的学”之媒介，所以
有：第一，针对“学科教学”而实施的教学研究其实就是研究
“教师的教”、研究“教学内容”和研究“学生的学”；第二，
在针对教学现场三个要素而实施研究的策略性安排，当然应该是
选择相对稳定和相对简单的“教学内容”而切入，以便于疏通所
谓“抓住中间带起两头”的智慧路径。
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本文所示的基于“植树问题”的教学研究案例，实际上就是
行走于上述所谓“抓住中间带起两头”的智慧路径上的一次典型
性示范，其研究的全过程有序分为三个阶段，即：
先行针对“教学内容”而切入，抓住“植树问题”本身的教
学处置以质疑，并巧妙的采用了把“孤立的10米”放到“另两个
10米”之间而构成“三个10米组装起来的30米”的方法，从而暴
露出了在“孤立的10米”中隐藏较深的矛盾；
接着渗透到“教师的教”的环节，指出了教师在该环节中遗
憾的忽视了“10米究竟有多长”的这一基于解决“植树问题”首
先应该予以明确的前置性问题，并通过对“10米”长度在生活语
境中的粗略认定和在数学语境中的精准界定而对所谓的“植树问
题”给出了不同层次的通透剖析，从而实质性的解决了如是之问
题；
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最后把研究的触角指向了“学生的学”，借助于把正向表述
的“植树问题”转译成为逆向表述的“分线段问题”，从而厘清
了学生解决“植树问题”过程中的最近发展区，并锁定了作为
“植树问题”前置问题的“分苹果问题”，令人信服的诠释了学
生所以会应声而答“10棵”之潜在缘由，从而轻松化解了执教教
师对学生学习行为所产生的困惑。
当然，如果我们把复杂的“学科教学”整体结构作形如（**）
式所示的精细剖析，即
学科教学 = 教师的教 + 教学内容 + 学生的学 + 其他次要因素 （**）
那么我们针对“学科教学”而实施的教学研究还可以、还应该、
还必须将研究的触角精细化的指向所谓“其他次要因素”，从而
将我们教学研究的智慧路径进一步延伸到“学科教学”生命体的
神经末梢，以使得我们的教学研究更为精细与精准——此为后话
而不在本片的论述范围，因而就此打住。
未子教育
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谢谢大家！
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