中国数学教育·下半月（高中版） 2021 年第 5 期 （总第 238 期）
一、教学内容解析
数列是函数的延续和发展. 在苏教版 《普通高中
课程标准实验教科书·数学5 （必修）》（以下统称“教
材”） 中，通过列举生活和数学中的大量实例，给出数
列的实际背景，让学生了解数列的概念，理解数列是
一类特殊的函数.“等差数列的前n项和”是继数列、
等差数列的概念之后学习的内容，其研究方法能够为
后续研究等比数列及其他数列提供帮助. 本节课的主
要内容是等差数列的前n项和公式的推导，而对于公式
的变形及应用，以及通过其他途径来求等差数列的前n
项和，将在后续的学习中进行研究.
二、教学目标设置
本节课教学目标设置如下.
（1） 经历探索等差数列前n项和公式的过程，掌握
从特殊到一般的研究方法，体会转化与化归、分类讨
论等数学思想，积累数学活动经验.
（2） 了解倒序相加法，理解等差数列的前n项和公
式，能够合理运用公式解决问题，提高分析问题、解
决问题的能力，提升数学建模、逻辑推理等数学学科
核心素养．
三、学生学情分析
本节课的授课对象是高二年级的学生，学生在学
习本节课内容之前，已经学习了数列、等差数列的概
念及通项公式等基础知识，了解了等差数列中的几个
量
a
1
,n,d,a
n
之间的关系．学生具有一定的归纳、推理能
力及良好的思维习惯，部分学生拥有对特殊的等差数
列求和的经验. 这些都为本节课的教学提供了知识迁
移和方法类比的可能. 但学生仍未理解数列求和方法
的本质. 因此，本节课的教学重在“说理”，即让学生
从感性认识上升到理性认识．基于学情，确定本节课
的教学重点为等差数列前n项和公式的推导，教学难点
为探索求等差数列前n项和的方法.
四、教学策略分析
本节课采用以下教学策略.
（1） 创设情境，引导学生用数学眼光观察世界，
对现实问题进行数学抽象.
（2） 引导学生从具体的等差数列入手，通过方法
迁移，探究等差数列的前
n
项和公式.
（3） 从数的角度进行公式的推导，从形的角度对
“等差数列的前 n 项和”教学设计
王友伟
（江苏省南京市金陵中学）
摘 要：借助阅兵队列训练视频创设情境，引导学生以数学眼光看问题 . 先从具体等差数列入手，
再通过方法迁移，得到一般的公式 . 从数的角度进行公式的推导，了解倒序相加法；从形的角度对公
式进行直观解释，对公式进行深入理解 . 经历提出问题、探寻研究方法、拟定研究方案、实施探究等
过程，落实“四基”、提高“四能”，发展数学学科核心素养 .
关键词：等差数列；前
n
项和；数学本质；研究方法；核心素养
收稿日期：2020-12-17
作者简介：王友伟 （1988— ），男，中学一级教师，主要从事高中数学教育教学研究 .
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中国数学教育·下半月（高中版） 2021 年第 5 期 （总第 238 期）
公式进行直观解释.
（4） 引导学生对比、总结推导方法的特点，体会
数学的简洁美.
五、教学过程设计
1. 引导回顾，梳理知识
之前 学生学习了数 列的概念，研究 了 一类特殊
的数列
—
—等差数列. 借助树图，回顾了已经学习过
的有关等差数列的知识.
等差数列的定义：
a
n + 1
- a
n
= d
( )
n ∈ N
*
. 其中，
d
是
公差，
n
是项数．
等差数列的通项公式：
a
n
= a
1
+
( )
n - 1 d
( )
n ∈ N
*
．
【设计意图】 以树图的形式帮助学生回顾知识、梳
理框架，体会研究数学的一般方法
—
—将未知转化为
已知进行研究. 巩固理解a
n
，a
1
，n，d四个量中“知三
求一”，为接下来分析问题、探究方法做好铺垫．
2. 创设情境，提出问题
教师播放阅兵训练视频，提示学生观看视频时思
考能否用数列的观点研究视频中的画面.
【设计意图】 借助阅兵队列训练视频，在激发学生
爱国热情的同时，让学生感受到数学来源于生活，引
导学生用数学眼光观察世界，从数学角度思考问题．
视频中的队列变化画面如图1所示，对应抽象成点
阵，如图2所示.
（1） （2） （3）
图 2
（1） （2） （3）
图 1
问题1：对于如图2所示的点阵，你能用数列的观
点发现问题、提出问题吗？
【设计意图】 引导学生尝试寻找队列的人数与数列
的关系，内化等差数列中的首项、项数、公差等概念，
引导学生将实际问题中的数量抽象出来并用符号进行
表示，进一步培养学生的观察能力，以及从实际问题
中进行数学抽象的能力. 学生选择从最简单的等差数
列
—
—常数列入手，通过对常数列求和的体验，为接
下来研究“公差不为0的等差数列求和时，将不同数相
加转化为相同数相加”做好铺垫．
将图1（3）的左下区域抽象为点阵，如图3所示，以
此为例进行研究．
图 3
问题2：对于图3，你能用数列的观点发现问题、
提出问题吗？
【设计意图】 继续内化等差数列中的首项、项数、
公差等概念，在学生提出问题后顺势而为，引出本节
课的课题
—
—等差数列的前n项和. 同时，通过“提出
问题—明确方向—分析问题”这一系列的操作，让学
生感受到研究等差数列的前n项和的必要性.
3. 组织活动，探索方法
问题3：设如图3所示的点阵区域的总人数为S
21
，
如何求这个区域的总人数？
尝试用多种方法，学生分组讨论，5分钟后小组汇报.
S
21
= 3 + 4 + … + 22 + 23．
预设方案1：从数的角度研究.
因为3 + 23 = 4 + 22 = … = 12 + 14，
所以
S
21
=
( )
3 + 23 × 10 + 13 = 273.
预设方案2：从数的角度研究.
因为3 + 22 = 4 + 21 = … = 12 + 13，
所以
S
21
=
( )
3 + 22 × 10 + 23 = 273.
预设方案3：从形的角度研究，如图4所示.
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中国数学教育·下半月（高中版） 2021 年第 5 期 （总第 238 期）
图 4
因为S
21
= 3 + 4 + … + 22 + 23，
S
21
= 23 + 22 + … + 4 + 3，
所以
S
21
+ S
21
=
( )
3 + 23 +
( )
4 + 22 + ⋯ +
( )
23 + 3
，
即
2S
21
=
( )
3 + 23 +
( )
4 + 22 + ⋯ +
( )
23 + 3
.
所以S
21
=
3 + 23
2
× 21 = 273．
【设计意图】 通过问题2引导学生经历从特殊到一
般的研究过程. 通过组织活动，让学生自主探究、小
组讨论，形成方案后汇报交流. 部分学生有过解决此
类问题的经验，容易想到配对，但是对配对的真正目
的不是很理解，所以这个问题中设定了奇数项的等差
数列求和，引导学生发现配对时可能出现不是整数对
的情形，也为接下来的奇偶项的讨论和倒序相加法做
好铺垫．
预设方案4：从形的角度研究，切掉左边的两列，
如图5所示.
图 5
S
21
= 2 × 21 + 1 + 2 + … + 21 = 2 × 21 +
1 + 21
2
× 21．
预设方案5：从形的角度研究，切掉左边的三列，
如图6所示.
图 6
S
21
= 3 × 21 + 1 + 2 + ⋯ + 20 = 3 × 21 +
( )
1 + 20 × 10.
【设计意图】 图6左半部分对应一个常数列，学生
直观感知到相同的数相加可以转化为乘法，呼应了前
面的配对思想．在学生已经掌握了“补”的方法后再
提出这一问题，比较自然地引出了“割”的方法，引
导学生学会从几何角度给出不同的解释，也为推导等
差数列前
n
项和公式的第二种形式进行铺垫．
这一环节的设计，让学生充分感受到可以从数和
形两个角度对等差数列进行求和，经历自主推导公式
的过程，感受配对的实质是将等差数列转化为常数
列，从而将加法转化为乘法，使复杂问题简单化.
4. 引导归纳，建立模型
问题4：如何推导出等差数列
{ }
a
n
的前n项和？
追问1：对于一个等差数列
{ }
a
n
，要已知哪些量才
可以求出前n项和？
【设计意图】 复习时已经明确a
n
，a
1
，n，d四个量
可以“知三求一”，追问1可以继续内化这个知识点.
当学生遇到“已知a
n
，d，n”的情形，经过引导和讨
论，学生能够从多个角度理解其等同于“已知a
1
，d，
n”的情形，使接下来的研究途径更加合理．
追问2：已知a
1
，a
n
，n，如何推出等差数列
{ }
a
n
的
前
n
项和
S
n
？
小组讨论，5分钟后小组汇报.
预设方案1：利用倒序相加法.
S
n
= a
1
+ a
2
+ … + a
n - 1
+ a
n
，
S
n
= a
n
+ a
n - 1
+ … + a
2
+ a
1
，
由上述算式，得
2S
n
=
( )
a
1
+ a
n
+
( )
a
2
+ a
n - 1
+ ⋯ +
( )
a
n
+ a
1
= n
( )
a
1
+ a
n
.
所以S
n
=
n
( )
a
1
+ a
n
2
．
预设方案2：S
n
= a
1
+ a
2
+ … + a
n - 1
+ a
n
.
（1） 当n为偶数时，
S
n
=
( )
a
1
+ a
n
+
( )
a
2
+ a
n - 1
+ ⋯ +
( )
a
n
2
+ a
n
2
+ 1
=
n
2
( )
a
1
+ a
n
=
n
( )
a
1
+ a
n
2
.
（2） 当n为奇数时，
S
n
=
( )
a
1
+ a
n
+
( )
a
2
+ a
n - 1
+ ⋯ +
( )
a
n - 1
2
+ a
n + 3
2
+ a
n + 1
2
=
n - 1
2
( )
a
1
+ a
n
+
a
1
+ a
n
2
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中国数学教育·下半月（高中版） 2021 年第 5 期 （总第 238 期）
=
n
( )
a
1
+ a
n
2
．
综上，可得S
n
=
n
( )
a
1
+ a
n
2
.
【设计意图】 研究具体数列的求和后，学生将探究
过程中使用的方法迁移到一般的等差数列
{ }
a
n
中，继续
内化倒序相加法，并利用追问让学生进一步理解“为
什么要配对”“为什么能配对”，并阐述原因．
追问3：已知a
1
，d，n，如何推出等差数列
{ }
a
n
的
前n项和
S
n
？
预设方案3：从形的角度研究，等差数列
{ }
a
n
的每
一项
a
n
用
a
1
和
d
表示，如图7所示.
S
n
= a
1
+
( )
a
1
+ d +
( )
a
1
+ 2d + ⋯ +
[ ]
a
1
+
( )
n - 1 d
= na
1
+
[ ]
1 + 2 + ⋯ +
( )
n - 1 d
= na
1
+
n
( )
n - 1
2
d
．
……
图 7
预设方案4：从数的角度研究，等差数列
{ }
a
n
的每
一项用
a
1
和
d
表示，即
a
n
= a
1
+
( )
n - 1 d
.
S
n
=
n
( )
a
1
+ a
n
2
=
n
[ ]
a
1
+ a
1
+
( )
n - 1 d
2
= na
1
+
n
( )
n - 1
2
d．
追问4：能否从几何角度给出
S
n
= na
1
+
n
( )
n - 1 d
2
的
直观解释？
【设计意图】 通过使用“割”的方法，从形的角度
给出了公式的直观解释，也让学生感受到等差数列的
求和问题其实可以转化为“求
1 + 2 + ⋯ + n
的值”的问
题，体现了转化与化归的思想．
我们运用“分割”（分组求和） 的方法得到了等差
数 列 前
n
项 和 公 式 的 另 外 一 种 形 式 . 其 中 ，“ 求
d + 2d +
3d + ⋯ +
( )
n - 1 d
” 实 质 上 就 是 “ 求
1 + 2 + ⋯ +
( )
n - 1
的值”的问题．
追问5：你能发现这两个公式之间的关系吗？
【设计意图】 利用追问5引导学生观察两个公式的
特点，进而发现两个公式的区别，即S
n
=
n
( )
a
1
+ a
n
2
中出
现a
n
，而S
n
= na
1
+
n
( )
n - 1 d
2
中出现d，为学生在实际解
题中选择恰当的公式解决问题做好铺垫. 同时，也让
学生感受到S
n
=
n
( )
a
1
+ a
n
2
中的a
n
是由a
1
，d，n决定的，
体会a
1
和d两个基本量的作用．
追问6：对比上述推导S
n
的方法，你觉得哪种方法
更简洁？
【设计意图】 已知a
1
，d，n推导S
n
本质上就是“求
1 + 2 + ⋯ + n
的值”. 从而引导学生发现最简洁的还是倒
序相加法．经过这样的比较分析，让学生理解等差数
列的前n项和公式是形式化的表达，推导公式的目的是
应用的简洁，追求简洁是数学研究的基本原则．
5. 数学运用，巩固深化
例1 在等差数列
{ }
a
n
中，设
{ }
a
n
的前n项和为S
n
．
（1） 已知a
1
= 2，a
30
= 90，求S
30
；
（2） 已知a
1
= 5，d =
1
3
，求S
12
．
【设计意图】 例1是对等差数列的前
n
项和公式的直
接应用. 通过对例题的解决，使学生巩固对公式的认
识，会根据题设条件合理地选用公式求值. 同时，明
白选择公式的原则是追求简洁．
例2 求出图8、图9中各区域的人数．
图 8
图 9
图 10
重点讲解图9中的深色区域，即图10 （从不同的角
度看，得到不同的等差数列）．
【设计意图】 例2与问题1呼应，回归实际问题，引
导学生从不同的角度分析问题，培养创新意识.
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中国数学教育·下半月（高中版） 2021 年第 5 期 （总第 238 期）
练习：在等差数列
{ }
a
n
中，设
{ }
a
n
的前n项和为S
n
．
（1） 已知a
1
= 3，a
50
= 101，求S
50
；
（2） 已知a
1
= 3，d =
1
2
，求S
10
．
【设计意图】 再次巩固对公式的理解. 公式的应用
其实就是从一般到特殊的过程．
6. 总结反思，升华理解
回顾与反思：这节课你有哪些收获？学到了哪些
知识？体会了哪些思想？
【设计意图】 本节课采用开放式课堂小结，引导学
生回顾学习过程，从知识、方法、思想几个角度进行
总结，积累经验，促进学生反思升华、感悟思想、提
升素养．
7. 分层作业，因材施教
（1） 巩固运用：教材第47页习题第1
~
5题.
（2） 拓展思考：若等差数列的通项公式
a
n
= f
( )
n
是
关于n的函数，你能从函数角度研究其前n项和S
n
吗？
【设计意图】 分层布置作业，面向全体学生，继续
深化等差数列前n项和公式的应用. 同时，为学生提供
运用函数观点研究S
n
的平台．
参考文献：
［1］ 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学
课程标准 （2017年版）［M］. 北京：人民教育
出版社，2018.
解析：根据最小二乘原理，利用计算器求得回归
方程为
y = -2.450 5x + 147.48
.
当
x = 6
时，
y ≈ 133
.
所以气温是
6
℃时大概要准备
133
杯奶茶.
思考：系数
-2.450 5
的含义是什么？常数
147.48
呢？
气 温 每 增 加
1
℃ ， 要 准 备 的 奶 茶 杯 数 大 约 减 少
2.450 5
杯.
思考交流：通过刚才的预判决策过程，你有什么
体会？
教师引导学生经历根据统计知识进行预判决策的
过程，认识统计的意义和作用.
【设计意图】 设计为小卖部决策的活动，将问题情
境生活化，让学生真正经历正确建立一元线性回归模
型解决实际问题的过程，把握一元线性回归分析的知
识逻辑，深刻理解最小二乘原理，即只有在两个变量
之间线性相关的基础上根据最小二乘法的思想和公式
求出的回归方程才有具体的实际意义，才能进行有效
的预判决策，并从中体会统计的作用.
6. 课堂总结，布置作业
通过这节课的学习，你有哪些收获呢？
首先，由学生小结本节课所学的内容，并交流学
习体会.
【设计意图】 通过学生总结的过程，把握统计活动
的过程，理解数据分析的新思路和新方法，抓住几个
关键点，深化对一元线性回归模型的理解和应用，突
出数学的应用价值.
这节课，我们主要通过数据分析和数学建模，理
解了直线拟合的基本思想和方法，会建立一元线性回
归模型进行预判和决策.
然后，我们仿照民族英雄辛弃疾的 《青玉案·元
夕》 填词一首 《青玉案·回归》 来总结这节课的主要
内容：预判决策找思路，最小二乘来相助. 众里寻他
千百度. 蓦然回首，回归线过，样本中心处.
课后作业：小组统计活动. 课后以小组为单位，
分工协作，自主选取生活中感兴趣的两个相关变量进
行研究.
【设计意图】 通过教师再总结，把握本节课的主要
思路和学习目标，并根据辛弃疾的词填词，以直观有趣
的形式概括这节课的主要内容，挖掘数学的育人价值.
设置小组课题研究活动，引导学生关注生活，自主选
择课题研究，能进一步加强合作交流，加强统计应用
意识，丰富学生的数学活动经验.
参考文献：
［1］ 中华人民共和国教育部制定. 普通高中数学
课程标准 （2017年版）［M］. 北京：人民教育
出版社，2018.
［2］ 王爽. 对“回归分析”的再认识［J］. 数学通
报，2015，54（7）：33-35.
（上接第 14 页）
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