§13
．
01
不等关系
教学目标：
知识与技能：让学生了解学习不等式的意义、不等式要研究的
问题以及研究这些问题的方法．掌握两个实数比较大小的方
法和理论依据，为今后的学习进一步打好基础．
过程与方法：教学中通过实例引入不等式，使学生对不等式
有丰富、深切的感受．
情感态度价值观：使学生能够充分的认识到现实世界中的等
量关系是相对的，不等关系比等量关系的存在更具普遍性，
体会研究不等关系具有非常重要的意义．
教学重难点：
重点：两个实数进行大小比较的方法．
难点：根据条件建立不等式
教学过程
一、问题情境
问题
1
某博物馆的门票每位
10
元，
20
人以上
(
含
20
人
)
的团体
票
8
折优惠，那么不足
20
人时，应该选择怎样的购票策略？
解 买
20
人的门票，需要付款
10×20×0.8
＝
160
元，
相当于原价购买时
20×0.8
＝
16
个人的购票款．
因此，当人数不超过
16
人时，原价购票；当人数不少于
16
人而且不超过
20
人时，购
20
人的团体票；当人数不少于
20
人时，购团体票．
问题
2
限速
40km/h
的路标，指示司机在前方路段行驶时，应
使汽车的速度
v
不超过
40km/h
，写成不等式就是
v≤40
．
问题
3
某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量
p
应
不少于
2.5%
，蛋白质的含量
q
应不少于
2.3%
，写成不等式组
就是——用不等式组来表示：
问题
4
下表给出了
X
，
Y
，
Z
三种食物的维生素含量及成本：
维生素
A
(
单位
/kg)
维生素Ｂ
(
单位
/kg)
成 本
(
元
/kg)
X 300 700 5
Y 500 100 4
Z 300 300 3
某人欲将这三种食物混合成
100kg
的食品，要使混合食品
中至少含
35000
单位的维生素
A
及
40000
单位的维生素
B
，设
X
，
Y
这两种食物各取
xkg
，
ykg
，那么
x
，
y
应满足怎样的关系？
因为食物
X
，
Y
分别为
xkg
，
ykg
，故食物
Z
为
(100
－
x
－
y)kg
，则有
1－1
即
上面的例子表明，我们可以用不等式
(
组
)
来刻画不等关系．
问题
5
在
b
克糖水中有
a
克糖，若再加上
m
克糖
(m
＞
0)
，则
糖水变甜了．
(1)
请你从中提炼出一个不等关系；
(2)
你能运用数学知识解释这一现象吗？
解
(1)
原来糖水的浓度为，加入
m
克糖后，糖水浓度变为，
由于糖水变甜了，所以加糖后糖水的尝试大于原来糖水的浓
度，写出不等关系即：＞．
(2)
要说明＞，只需要说明－＞
0
．
因为－＝＝，
且
b
＞
a
＞
0
，
m
＞
0
，
所以 ＞
0
，
即 －＞
0
，
即 ＞．
二、学生活动
试举几个现实生活中与不等式有关的例子．
三、数学理论
不等式的基本性质
(1)
对称性：
a
＞
b
b
＜
a
．
(2)
传递性：
a
＞
b
，
b
＞
c
a
＞
c
．
(3)
可加性：
a
＞
b
a
＋
c
＞
b
＋
c
．
(4)
加法法则：
a
＞
b
，
c
＞
d
a
＋
c
＞
b
＋
d
．
(5)
减法法则：
a
＞
b
，
c
＜
d
a
－
c
＞
b
－
d
．
(6)
可积性：若
a
＞
b
，
c
＞
0
，那么
ac
＞
bc
；
若
a
＞
b
，
c
＜
0
，那么
ac
＜
bc
．
四、数学应用
例
1
判断下列命题是否正确？
(1)
若
a
＞
b
，则
ac
2
＞
bc
2
；
(2)
若＞，则
a
＞
b
；
(3)
若
a
＞
b
，
c
＞
d
，则
ac
＞
bd
；
(4)
若
a
＞
b
，
ab≠0
，则＜．
例
2
设
a
，
b
为实数，比较
a
2
－
2ab
＋
2b
2
与
2a
－
3
的大小．
1－2
分析 比较两个实数
a
与
b
的大小，可归纳为判断它们的差
a
－
b
的符号
(
注意是指差的符号，至于差的值究竟是多少，在
这时是无关紧要的
)
．
解
(a
2
－
2ab
＋
2b
2
)
－
(2a
－
3)
＝
a
2
－
2ab
＋
2b
2
－
2a
＋
3
＝
(a
－
b)
2
－
2(a
－
b)
＋
b
2
－
2b
＋
3
＝
[(a
－
b)
2
－
2(a
－
b)
＋
1]
＋
(b
2
－
2b
＋
1)
＋
1
＝
(a
－
b
－
1)
2
＋
(b
－
1)
2
＋
1
．
因为
(a
－
b
－
1)
2
≥0
，
(b
－
1)
2
≥0
，
1
＞
0
，
所以
(a
－
b
－
1)
2
＋
(b
－
1)
2
＋
1
＞
0
，
即
(a
2
－
2ab
＋
2b
2
)
－
(2a
－
3)
＞
0
，
所以
a
2
－
2ab
＋
2b
2
＞
2a
－
3
．
分析 对上面的过程作进一步的思考，我们可以发现：本题
的的实质就是无论
a
，
b
取何实数，它们的差都是
(
恒
)
正的，
关于恒正的问题，又经常可以利用函数来研究，因此可以联
系函数的知识，得到下面的解法．
解
(a
2
－
2ab
＋
2b
2
)
－
(2a
－
3)
＝
a
2
－
2(b
＋
1)a
＋
2b
2
＋
3
．
令
f(a)
＝
a
2
－
2(b
＋
1)a
＋
2b
2
＋
3
．
由于△＝
4(b
＋
1)
2
－
4(2b
2
＋
3)
＝－
4b
2
＋
8b
－
8
＝－
4[(b
－
1)
2
＋
1]
＜
0
，
且二次项的系数
1
＞
0
，
所以，由二次函数的图象和性质知：
当
a
，
b
为实数时，
f(a)
恒正，即
(a
2
－
2ab
＋
2b
2
)
－
(2a
－
3)
＞
0
恒成立，
所以所以
a
2
－
2ab
＋
2b
2
＞
2a
－
3
．
说明
(1)
两个实数
a
和
b
之间，存在且只存在三种关系中的一
种：
a
＞
b
，
a
＝
b
，
a
＜
b
．
a
＞
b
a
－
b
；
a
＝
b
a
－
b
＝
0
；
a
＜
b
a
－
b
＜
0
．
这是进行两个实数比较大小的理论依据．
(2)
比较两个实数的大小，作差是一种重要的方法，其解
题步骤可归纳为：
①作差并化简、变形；
(
作差、变形
)
②判断差值与零的大小关系，必要时需进行讨论；
(
定号
)
③得出结论．
(
结论
)
其中变形是关键步骤，这时常常要运用“配方”，“因式分
解”等技巧，在学习过程中要注意结合具体问题体会理解．
例
3
已知
a≥1
，试比较
M
＝－与
N
＝－的大小．
解
M
－
N
＝
(
－
)
－
(
－
)
＝－
＝．
因为
a≥1
，所以
0≤
＜，
即 －＜
0
，
又因为分母恒正，所以
M
－
N
＜
0
，
即
M
＜
N
．
1－3
解法二
M
＝－＝，
N
＝－＝．
因为
a≥1
，所以
0≤
＜，
所以 ＋＞＋＞
0
，
所以 ＜，
即
M
＜
N
．
例
4
已知
a∈R
，且
a≠1
，比较与
1
－
a
的大小．
解 因为 －
(1
－
a)
＝，所以
当
a
＝
0
时，
=1
－
a
；
当
a
＞－
1
，且
a≠0
时，＞
1
－
a
；
当
a
＜－
1
时，＜
1
－
a
．
五、课堂反馈
练习 用数学模型刻画下列问题：
1
．某钢铁厂要把一根长度为
4000mm
的钢管截成
500mm
和
600mm
两种型号的短钢管，且
600mm
钢管的数量不能超过
500mm
钢管数量的
3
倍。怎样写出满足所有上述不等关系的不
等式呢？
解 设截得
500 mm
的钢管
x
根，截得
600mm
的钢管
y
根。根
据题意，应有如下的不等关系：
(1)
截得两种钢管的总长度不超过
4000mm
，即
500x
＋
600y≤4000
；
(2)
截得的
600mm
钢管的数量不能超过
500mm
钢管数量
的
3
倍，即
y≤3x
；
(3)
截得两种钢管的数量必须都为正整数，即
x∈N*
，
y∈N*
．
要同时满足上述的四个不等关系，可以用下面的不等式
组来表示
六、回顾反思
1
．什么是不等式？
2
．为什么要学习不等式？
3
．两个实数比较大小的方法和理论依据是什么？
七、课外作业
教材
P
74
：练习——
1
，
2
，
3
，
4
，
5
．
补充：
1
．比较
(
＋
)
2
与
6
＋
2
的大小．
2
．已知
x
，
y∈R
，比较
(x
2
＋
xy
＋
y
2
)
2
与
4xy(x
2
＋
y
2
)
的大小．
1－4
