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概率的性质
南京市金陵中学 徐美松
一、教学内容解析
在学习等可能事件的概率时，学生已经接触到随机事件、不可能事件、必然事件的概
念和概率的意义，本节内容是前面内容的深化．由于集合可以进行交、并、补等运算，事件
又可以用基本事件为元素的集合表示，因此可以结合具体实例类比集合研究事件之间的关系
和“运算”，得到两个事件 A，B 的“和事件”的记号“A＋B”．
本节课研究两个互斥事件的和事件这一简单情形．从集合的观点来看，两个事件互斥
即这两个事件的集合的交集是空集．通过具体实例，了解两个互斥事件的概率加法公式，并
且推广到多个事件彼此互斥的情形．与互斥事件相近的概念是对立事件，应注意这两个概念
的区别与联系．会用“对立事件的概率之和等于 1”这个结论来解决实际问题．当某个事件较
为复杂时，可以考虑其对立事件是否较为简单，若其对立事件是比较简单的事件，则可转而
去求其对立事件的概率．
二、教学目标
1．了解互斥事件和对立事件的概念，能判断两个事件是否为互斥事件和对立事件．
2．通过实例，理解概率的性质，掌握事件的概率的运算法则，会用公式进行简单概率的计
算．
3．通过对现实生活中具体的概率问题的探究，感知应用数学解决问题的方法，体会数学知
识与现实世界的联系．
三、学情分析
学生已经学习了随机事件、不可能事件、必然事件的概念和概率的意义，知道概率是用
来刻画随机事件发生的可能性大小．并通过具体概率模型－－－古典概型，结合具体的情境
掷骰子问题，进一步研究了等可能事件发生的概率，掌握了等可能事件概率的计算方法．
学生缺乏对事件之间的关系以及事件之间的运算的认识．这需要学生结合的集合，类比
得到事件之间的包含关系，以及事件的交并运算等．学生已经储备了集合的相关知识，这为
本节课类比集合来研究事件之间的关系及运算打好基础，在教学中需加强引导．
学生虽然通过古典概型掌握了等可能事件概率的计算方法，但还不清楚事件的概率之间
的关系．在分析了事件之间的关系和运算之后，引导学生发现和分析和事件发生的概率与已
知两个事件发生的概率之间的关系．并通过具体实例加以验证，由具体到一般，尝试归纳得
到一般的结论，经历数学研究的过程．
基于以上的学情，我将本节课学习的重点和难点确定如下：
重点：概率的性质．
难点：事件的关系和运算．
四、教学策略分析
启发式教学，探究式学习．以学生为主体，教师为主导，探究为主线．在教学过程中，
坚持”学生主动学习的原则”，学生自己学会学习，学会研究，学会合作交流．学习是学生自
己的体验与感受，通过自己研究问题和合作交流获得结论，从而学生逐渐学会提出问题，研
究问题，充分培养学生的思维能力．
2
五、教学过程设计
复习引入
输血在临床上有广泛的应用．
在日常生活中，大家对输血并不陌生，输血是一种治疗措施，输血恰当能够挽救病患生
命，但输血不当却有可能危及病患致命．因此医生在给病患输血前需全面掌握病患的身体情
况．那么，在茫茫人海中，随机选一个人，能输给某位患者的可能性有多大呢?这个问题的
解决，就与我们学习的概率有关．为了更好地解决这样的问题，我们先从熟悉的事例出发．
(课件上呈现一枚骰子)现有一枚骰子，我们将其抛掷一次，请你观察正面朝上的点数．请
同学们举出一些事件，并计算这些事件的概率．
设计意图 学生通过具体实例回顾随机事件发生的概率的计算方法，并通常熟悉事件的书
写，学生对用集合的表示方法来表示事件有更为深刻的认识，从而能更好地类比集合来研究
事件．
问题 1 类比集合，分析事件之间的关系和运算．
子集：AB 若 xA，则 xB；
交集：A∩B＝{x|xA，且 xB}；
并集：A∪B＝{x|xA，或 xB}．
活动 1 请同学们自行分析事件之间的关系以及事件之间的运算，之后，前后同学彼此交流，
完善自己的结论．
设计意图 类比集合的知识，从具体的两个事件得到事件与事件的包含关系，并由具体的两
个事件得到交事件和并事件，从而得到事件 A＋B，最终给出和事件 A＋B 的定义．
数学理论 1
事件 A＋B：事件 A，B 至少有一个发生．
问题 2 事件 A＋B 与事件 A，B 有关，那么事件 A＋B 与事件 A，B 的概率之间的关系如何
3
呢?
活动 2 请同学们自行分析事件发生概率的关系，之后，前后同学彼此交流，完善自己的结
论．
设计意图 希望学生通过比较事件 A＋B，与事件 A 及事件 B 的概率，发现事件 A ＋B 的概
率与与事件 A，B 的概率之间的大小关系．
问题 3 同学们得到了事件 A＋B 的概率与与事件 A，B 的概率之间的关系 P(A＋B)≤P(A)
＋P(B)，你能分析一下，当事件 A，B 满足什么条件时，这个关系中的等号成立吗?(请同学
们举例加以验证)
设计意图 请同学举出具体的几组事件，通过合情推理，归纳总结一般结论，并通过再次举
例验证这个结论．从而得到互斥事件的概念以及互斥事件概率的加法公式：当事件 A 与事
件 B 互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
概率的加法公式的主要作用在于：已知互斥事件 A，B 发生的概率，可以求出事件 A＋
B 的概率，也可以认为由两个互斥事件的概率得到这两个事件的和事件的概率．
数学理论 2
互斥事件：事件 A，B 不可能同时发生．
概率的加法公式：当事件 A 与事件 B 互斥时，P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
问题 4 请同学举出前面抛骰子的试验中，与事件 A＝{1}互斥的事件．
设计意图 通过举出的互斥事件，指出其中有一个互斥事件是由事件 A 唯一确定的，即对
立事件，从而得到对立事件．从集合的角度来看，两个对立事件是互为补集的关系．
请同学尝试着给对立事件下个定义．
数学理论 3
如果两个互斥事件必有一个发生，那么我们称这两个事件为对立事件．事件 A 的对立
事件记为
ˉ
A ．
问题 5 当两个事件是对立事件时，它们发生的概率有什么的关系呢?(请同学们举例加以验
证)
设计意图 得到对立事件发生的概率的性质．
数学理论 4
当事件 A 与事件 B 对立时，1＝P(A＋B)＝P(A)＋P(B)．
数学应用
例 1 某人射击 1 次，命中 7～10 环的概率分别如下表所示：
4
命中环数
10
9
8
7
概率
0.12
0.18
0.28
0.32
(1)求“射击 1 次，至少命中 9 环”的概率；
(2)求“射击 1 次，至少命中 7 环”的概率；
(3)求“射击 1 次，命中不足 7 环”的概率．
解 记“射击 1 次，命中 k 环”为事件 A
k
(k∈N，且 k≤10)，则事情 A
0
，A
1
，A
2
，…，A
10
两两互斥．
(1) 记“射击 1 次，至少命中 7 环”为事件 A，则事件 A＝A
9
＋A
10
，由互斥事件的概率加法
公式，得
P(A)＝P(A
9
＋A
10
)
＝0.18＋0.12
＝0.3．
(2) 一般结论
一般地，如果事件 A
1
，A
2
，…，A
n
两两互斥，那么有
P(A
1
＋A
2
＋…＋A
n
)＝P(A
1
)＋P(A
2
)＋ …＋P(A
n
)．
记“射击 1 次，至少命中 7 环”为事件 B，则事件 B＝A
7
＋A
8
＋A
9
＋A
10
．由互斥事件的
概率加法公式，得
P(B)＝P(A
7
＋A
8
＋A
9
＋A
10
)
＝P(A
7
)＋P(A
8
)＋P(A
9
)＋P(A
10
)
＝0.32＋0.28＋0.18＋0.12
＝0.9．
(3) 事件“射击 1 次，命中不足 7 环”是“射击 1 次，至少命中 7 环”的对立事件，即
ˉ
B 表示事件“射击 1 次，命中不足 7 环”．根据对立事件的概率公式，得
P(
ˉ
B )＝1－P(B)＝1－0.9＝0.1．
答 此人射击 1 次，至少命中 7 环的概率为 0.9，命中不足 7 环的概率为 0.1．
例 2 一般地，同种血型的人可以输血，Ｏ型血可以输给任一种血型的人，任何人的血都可
以输给 AB 型血的人，其他不同血型的人不能互相输血．
黄种人群中各种血型的人所占的比如下表所示：
血型
Ａ
Ｂ
AB
Ｏ
该血型的人所占比／％
28
29
8
35
小明是 B 型血，若小明因病需要输血，问：
(1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少？
(2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少？
解 (1)对任一人，其血型为 A，B，AB，O 型血的事件分别记为 A′，B′，C′，D′，它们是
两两互斥的．由题知，有
P(A′)＝0.28，P(B′)＝0.29，P(C′)＝0.08，P(D′)＝0.35．
5
因为Ｂ，Ｏ型血可以输给Ｂ型血的人，故“可以输给Ｂ型血的人”为事件 B′＋D′．根据
互斥事件的加法公式，有
P(B′＋D′)＝P(B′)＋P(D′)＝0.29＋0.35＝0.64．
(2)由于 A，AB 型血不能输给 B 型血的人，故“不能输给 B 型血的人”为事件 A′＋C′，
且
P(A′＋C′)＝P(A′)＋P(C′)＝0.28＋0.08＝0.36．
答 任找一人，其血可以输给小明的概率为 0.64，其血不能输给小明的概率为 0.36．
六．课堂教学目标检测
1．一个口袋中有白球和黑球各 5 个，从中连续摸两次，每次摸出 1 个球，记
事件 A 为“两次摸到黑球”，
事件 B 为“两次摸到白球”，
事件 C 为“两次摸球，恰有一次摸到白球”，
事件 D 为“两次摸球，至少有一次摸到白球”，
其中是互斥事件的有＿＿＿＿＿，互为对立事件的是＿＿＿＿＿．
2．口袋中有若干红球﹑黄球和蓝球，摸出红球的概率为 0.45，摸出黄球的概率为 0.33，求：
(1)“摸出红球或黄球”的概率；
(2)“摸出蓝球”的概率．
七．回顾反思
(1)本节课我们学习了哪些内容？我们是如何学习的？
(2)互斥事件的和事件、对立事件的概率的性质分别是什么？
八．作业
习题 1，3，4
思考题：一般地，P(A＋B)与 P(A)，P(B)的关系如何呢?
