几何概型与贝特朗问题
南京市金陵中学 张松年
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号金陵中学
几何概型是学生在高中阶段学习概率时感到比较吃力的内容之一，下面就苏教版普通高中课程标准数学实
验教材中的有关问题，谈谈几何概型中的“贝特朗问题”．
问题
1
如图
1
，在等腰直角三角形
ABC
中，在斜边
AB
上任取一点
M
，求
AM
小于
AC
的概率．
(
苏教数学
3
第
102
页例
3)
解 点
M
的等可能性可以理解为
M
在
AB
上匀速运动．在
AB
上截取
AC'
＝
AC
，故
AM
小于
AC
的概率
P(AM
＜
AC)
＝
P(AM
＜
AC')
＝＝＝＝．
说明 一般地，在几何区域
D
中随机地取一点，记事件“该点落在其内部一个区域
d
内”为事件
A
，则事件
A
发生的概率
P(A)
＝．在本题中，测度为长度．由于
M
是在
线段
AB
上任取的一点，所以
M
的等可能性应理解为
M
在线段
AB
上匀速运动．
问题
2
将问题
1
改为：如图
2
，在等腰直角三角形
ABC
中，过直角顶点
C
在∠
ACB
内部任作一条射线
CM
，与线段
AB
交于点
M
，求
AM
小于
AC
的概率．
(
苏教数学
3
第
104
页习题
6)
解 点
M
是射线
CM
与线段
AB
的交点，射线
CM
的等可能性应理解为
CM
绕
C
作匀
速旋转运动．在
AB
上截取
AC'
＝
AC
．因为等腰直角三角形
ABC
中，∠
ACB
＝
90
o
，
所以∠
CAB
＝
45
o
．因此，在等腰三角形
AC'C
中，∠
ACC'
＝＝
67.5
o
，故
AM
小于
AC
的概率
P(AM
＜
AC)
＝＝
＝．
说明 在这里，测度为角度．由于点
M
是射线
CM
与线段
AB
的交点，即由射线
CM
生成的，所以“
AM
小于
AC”
的概率应理解为“射线
CM
落在∠
ACC'
内部”的概率．射线
CM
是过直角顶点
C
在∠
ACB
内部任作一条射
线，故射线
CM
的等可能性应理解为
CM
绕
C
作匀速旋转运动．
由问题
1
，
2
可见，背景相似的几何概型问题，对生成事件的“等可能”的理解角度不同，概率往往也不
同．
问题
3
如图
3
是半径为
1
的半圆．在半圆上随机地取两点
M
，
N
作为弦的端点，则弦
MN
的长超过半圆的半径的概率是多少？
解 点
M
，
N
是半径
OM
，
ON
与半圆的交点，点
M
，
N
的等可能性应理解为射线
OM
，
ON
绕
O
作 匀 速 旋 转 运 动 ． 如 图 ， 半 圆 直 径 的 端 点 为
AB
， 设 ∠
AOM
＝
α
，∠
AON
＝
β
，其中
0≤α≤π
，
0≤β≤π
．不难知道，弦长超过半圆的半径即此弦所对的
圆心角
|α
－
β|
的范围是区间
(
，
π]
．因此，图
3
－
1
中的阴影部分区域就表示“弦
MN
长
超过半圆的半径”．由于
S
正方形
＝
π
2
，
S
阴影
＝
2××(π
－
)
2
＝，所以“弦
MN
长超过半圆的半
径”的概率
P(MN
＞
1)
＝＝．
问题
4
在半径为
1
的圆内随机地取一条弦，则其长超过圆的内接正三角形边长的概率是
多少？
(
贝特朗
(bertrand)
问题
)
解 不难知道，圆的内接正三角形边长为．
观点
1
如图
4
－
1
所示，在半径为
1
的圆内随机地取一条弦，其长超过圆的内接正三
角形边长，即此弦所对的弧长
l(
或圆心角
)
满足＜
l
＜．因此，所求的概率
P(MN
＞
)
＝
＝．
观点
2
如图
4
－
2
所示，在半径为
1
的圆内随机地取一条弦，其长超过圆的内接正三
角形边长，即此弦的弦心距
d
小于，即弦的中点在以圆心
O
为圆心，半径为的圆内．
因此，所求的概率
P(MN
＞
)
＝＝．
1
A
C
B
M
C'
图 1
A
C
B
M
C'
图 2
A
O
B
M
图 3
N
x
y
O
π
图 3 － 1
π
E
O
F
图 4 － 3
A
O
B
M
C'
图 4 － 2
A
O
B
M
C'
图 4 － 1
观点
3
如图
4
－
3
所示，在半径为
1
的圆内随机地取一条弦，其长超过圆的内接正三角形边长，即此弦的弦心距
d
满足
0≤d≤
，弦的中点在与弦垂直的直径上以圆心为中点的长为
1
的线段上．因此，所求的概率
P(MN
＞
)
＝．
观点
4
如图
4
－
4
所示，在半径为
1
的圆内随机地取一条弦，可先在圆周上任取一点
M
，在以
M
为端点任作一
条直线，交圆周于另外一点
N
，则弦
MN
的长超过圆的内接正三角形边长，即直线
MN
与过
M
的直径的夹角小于．因此，所求的概率
P(MN
＞
)
＝＝．
观点
5
如图
4
－
5
所示，在半径为
1
的圆内随机地取一条弦，可先在圆周上任取一点
M
，作直径
MP
，然后在
MP
上取
MC
＝，在线段
CP
上取点
N'
，再以点
M
为圆心，
MN'
为半径画圆，交已知圆于点
N
，则
MN
＞．因为
N'P
＝
2
－，所以，所求的概率
P(MN
＞
)
＝．
观点
6
如图
4
－
6
所示，在圆周上任取一点
M
，作直径
MP
，然后在
MP
上取
MC
＝，
过
C
作与
MP
垂直的直线
EF
，交圆于两点
E
，
F
，在直线
EF
上任取一点
D
，若点
D
在在弦
EF
上，则
MN
＞，否则
MN≤
．由于
EF
＝，而直线
EF
的长是无限的，因此，
所求的概率
P(MN
＞
)
＝
0
．
其实，贝特朗问题还可以有多种不同的观点，甚至可以说有无穷多种不同的观
点．由上面的几种不同的观点可见，背景相同的几何概型问题，当理解等可能的角度不同时，其概率也是不同
的，这在数学界引起了很大的震动，促使数学家理性反思概率论，尤其是几何概型的理论基础．直到
1933
年，
这个问题才由苏联数学家柯尔莫戈洛夫解决，他建立了在测度理论的基础上的概率论公理系统，从而把概率论
建立在完全严格的数学基础之上．
参考书籍
1
．普通高中课程标准实验教科书《数学
3
》．单墫，南京，江苏教育出版社，
2006
年
2
P
O
M
N
C'
图 4 － 4
P
O
M
N
E
图 4 － 6
D
F
C
P
O
M
N
E
图 4 － 5
D
F
C
