2 0 2 1
年
1
月（下旬）
<
投稿邮箱
：
!"#$%&’()*+,-./0
数学教学通讯
盲从还是质疑，接受还是思辨
——
—
由一道改编题的隐蔽错误谈谈质疑精神和思辨教学
从 品
南京市金陵中学
210000
［
摘 要
］
草率改编可能会带来一些意想不到的错误
，
有时错误是隐蔽且冷僻的
．
展示一道经典原题与一道考
试变式题
，
并以这道考题的隐蔽错误为例
，
激起学生的好奇与质疑
，
组织开展一次探究课堂
，
以不含
提醒的问题为驱动
，
推动学生对错误进行自主分析和纠正
，
启发学生思辨
．
借此例谈谈反思与感悟
，
改编命题需谨慎
，
质疑思辨需重视
．
［
关键词
］
改编
；
错解
；
纠错
；
探究
；
质疑
；
思辨
；
反思
基金项目
：
本文为南京市教育科学
“
十三五
”
规划
2018
年度立项课题
（
L/2018/235
）《
大数据分析背景下优化高中数学教与学行为的
实践研究
》
阶段性研究成果
.
本文为南京市基础教育优秀教学成果培育项目
（
2020
年
，
首批
）《
大数据分析视域下高中数学教学模式
优
化实践研究
》
的阶段性研究成果
.
作者简介
：
从品
（
1985-
），
硕士研究生
，
中学一级教师
，
主要从事解题
、
命题
、
数学建模等工作或研究
．
> 课程教材教法
对 经 典 题 进 行 改 编 所 衍 生 出 的 新
题层出 不穷
!
但改 编出 错也常 有发 生
!
有时错 误非常隐 蔽
!
令很 多师 生不以 为
然
!
而有些 错误却 折射 出更深 层次 的问
题
!
如何利用这些错误值得尝试与思 考
．
本文举 一例漂亮 的
"
翻车
#
典范
!
开展 一
次 探 究课 堂
!
鼓 励 质 疑 与 思 辨
!
发 挥 其
教育功能
．
!
原题展现，无人问津
在 我 校 高 一 年 级 数 学 学 科 配 套 使
用的练习册
（《一遍过》〈高中数学必修
!
，
"#$%
版，南京师范大学出版社〉的第一
章第三节“正弦定理、余弦定理的应用”
的“过能力”部分）
第
&
页第
"
题引 用了 这
样一道填空题
$
原题
：
（
"#’&
年江苏南通期中考试）
在
"()*
中
!
边
()
上的高与边
()
的长相等
!
则
(*
)*
＋
)*
(*
＋
()
"
)*%
%
(*
的最大值为
++++．
解
：
设
)*＝,
，
(*＝-
，
()＝.
，
则
’
"
,-
·
sin*＝
’
"
.
"
，
即
,-sin*＝.
"
．
由题意得
(*
)*
＋
)*
(*
＋
()
"
)*%
%
(*
＝
,
"
/-
"
/.
"
,-
0
,
"
/-
"
1.
"
,-
＋
".
"
,-
＝"cos*＋"sin* ＝"
"
%
#
sin
$
*＋
π
4
%
&
"
"
%
’
，
所 以
(*
)*
＋
)*
(*
＋
()
"
)*%
%
(*
的 最 大
值 为
" "
%
’
．
(
)
*
图
*
笔者 通过 反复搜 寻
!
发现 本题 最早
出 现 在 江 苏 省 常 州 高 级 中 学
"#’2
年 高
考数学 模拟试卷
（最后一卷）
上
!
原卷 只
给了
答案
" "
%
’
!
并没有给出详细的解答
过程
．
当 笔者 到网 络 上搜 索时
!
出 现了
很多解 答过程
!
与
&
一遍 过
’
所给 的答 案
过程几乎类似
．
这道题 确实 是一道
(
小清 新
#
（题干
短小、题意清晰、题型新颖）
试 题
!
涉 及
等 面 积法
（算两次）
)
余 弦 定 理
)
三 角 恒
等 变 换 的 辅 助 角 公 式 等 重 要 知 识 点 和
方 法
!
是 一 道漂 亮 的 中 档 题
!
所 以 广 泛
流传
!
后来也 多次 被其他 地方 的考卷 或
教辅 引 用过
．
但 是
!
因 为笔 者所 执 教班
级学生 的成绩较 好
!
而且 练习 册上的 原
题有答 案和解析 过程
!
所以 并没 有学生
对这道题提出疑问
!
也就没有引起笔者
的注意
!
故而没有讲评
．
!
考题变式，翻车典范
上面 这道 原题并 不算 困难
!
故而 没
有引起 学生和教 师的 质疑与 重视
!
但是
在 高 一 下 学 期 的 期 中 数 学 考 卷 上 却 恰
03
C MY K
> 2 0 2 1
年
1
月（下旬）
投稿邮箱
：
!"#$%&’()*+,-./0
数学教学通讯
> 课程教材教法
恰出现了一道变式题
．
变式题
：
在
!ABC
中
!
记
BC＝a
!
AC＝b
!
AB＝c．
若
AB
边上的高与
AB
边的长相等
!
则
b
a
＋
a
b
＋
2c
2
ab
的最大值为
_________．
这道 变式 题对原 题改 动较小
!
只 是
简单地将原题中的
"
c
2
ab
#
改为了
"
2c
2
ab
$!
所 以 很 多 师 生 同 法 解 题
!
看 似 自 然 又
%
合理
$!
所得结果与试卷答案一致
!
均为
13
%
"
．
请看解题过程
&
解
：
将目标 进行整理
!
b
a
＋
a
b
＋
2c
2
ab
＝
a
2
+b
2
+2c
2
ab
＝
a
2
+b
2
-c
2
ab
＋
3c
2
ab
．
记
!A BC
的
面积 为
S
"
若边
AB
上的 高与 边
AB
的长 相
等
"
则
1
2
ab!"#C＝S＝
1
2
c
2
"
即
ab!"$C＝c
2
．
于
是
"
a
2
+b
2
-c
2
ab
＋
3c
2
ab
＝ 2%&!C＋3!’$C＝
13
%
"
#
!"$
$
C＋φ
%
#
13
%
"
"
所以
b
a
＋
a
b
＋
2c
2
ab
的最
大值为
13
%
"
．
但是
!
原题的 结果
2 2
%
"
是正确 的
!
而 以 上 解 题 的 结 果 和 期 中 考 卷 所 给 的
答案
13
%
"
却都是错误的
!
这是为何呢
’
最
初笔者与同组教师讨论时
!
不少教师
%
自
信
$
地认为自 己求得的结 果
13
%
"
是正确
的
(
后 来 学生 被 告 知
13
%
"
是 错 误 答 案
时
!
也都个个义愤填膺
!
不愿苟 同
.
在第
二天问 询学生订 正情 况时
!
却发 现全 班
（南京市四星级高中高一好班之一）
少
有学生 发现错在 何处
!
可见 错误 隐藏之
深
.
那么究竟错在何处呢
’
同 时
!
笔 者 也 意 识 到
!
这 是 一 道 典
型 的 因 为 草 率 改 编 而 导 致 答 案 错 误 的
试题
!
而应有 的正确 解题 过程又 恰恰 与
学 生 的 原 有 认 知 和 定 式 思 维 产 生 了 冲
突
!
是 一 个很 好 的 探 究 素 材
!
也 有 一 定
的教育 意义
!
于是 计划 就这道 题展 开一
次探究课
!
激发学生进行质疑与思辨
．
$
认知冲突，质疑思辨
课堂 一开 始
!
教师 首先 对比展 示练
习册上 的原题和 期中考 卷上 的变式 题
!
请学生 再次思考 这两 道题的 区别
!
以及
为 何 两 道 题 同 样 的 解 法 所 得 结 果 却 一
对一错
．
生
（略显胆怯 、犹豫不决）
&
得到
b
a
＋
a
b
＋
2c
2
ab
＝ 13
%
"
!"$
)
C＋φ
*
% 13
%
"
应 该没
有错
!
如 果
13
%
"
是 错误 答案
!
那 么错 误
似乎只 可能出在 最后一 步的 结论上
!
即
13
%
"
不是最大值
．
师
&
你说
b
a
＋
a
b
＋
2c
2
ab
% 13
%
"
是正确
的
!
那是否意味着
13
%
"
是最大值
’
你又
说
13
%
"
不是最大值
!
二者是否矛盾
’
学生若有所思
!
陷入疑惑
．
师
（追问）
&
那
b
a
＋
a
b
＋
2c
2
ab
%100
有
没有错
’
那能否认为最大值为
100
’
学生似有顿悟
!
脸上疑容舒展
．
生
&
得到
b
a
＋
a
b
2c
2
ab
% 13
%
"
是 正确
的
!
所 以 不等 关 系
b
a
＋
a
b
+
2c
2
ab
%100
也
没有错
!
但
100
显然 不是 最大值
!
因为 最
大值不超过
13
%
"
!
但
13
%
"
是否为最大值
还需验证
．
师
&
为何要验证
’
生
&
不等关系约束的端点不一定是最
值
．
比如
!
对于任 意的
x&R
!
都有
!"$x&
+
－1
!
1
,!
这 里 的 区 间
+
－1
!
1
,
是
!"$x
的 取
值范围
!
区间内 的每 一个值 都能 确定取
到
．
而包含区间
+
－1
!
1
,
的任何一个更大
的 范 围
!
都 可 以作 为
!"$x
的 不 等 关 系 约
束
!
比如不 等关系约束
－1%!"$x%2
也没
有错
!
但显然
!
2
不是
!"$x
的最大值
．
师
&
非 常 好
!
大 家 意 识 到 了 不 等 关
系约束 与取值范 围及最 值的 差异
!
这是
平时较 少关注到 的一个 知识 盲点
!
在以
后的学习过程中也要重视
．
那么如何 验
证
13
%
"
是否为最大值呢
’
生
&
与上面 的
!"$x
类似
!
我们 需要 先
求出
13
%
"
!"$
)
C＋
φ
*
的取值范 围
!
然后才
容易得到最大值
．
生
&
求取值范围比求最大值更困难
!
也可以逆向考虑问题
!
先考虑角
C
取何值
时
!
13
%
"
!"$
)
C＋
φ
*
＝ 13
%
"
!
然后验证此时
角
C
的取值是否在其取值范围内
．
师
&
那角
C
取何值时
!
会有
13
%
"
!"$
)
C＋
φ
*
＝ 13
%
"
呢
’
角
C
的 取值 范围 对
13
%
"
&
!"$
)
C＋
φ
*
而言意味着什么
’
生
&
当
C＋
φ
＝
π
2
时
!
才有
13
%
"
!"$
)
C＋
φ
*
＝ 13
%
"
!
此 时 角
C
的 取 值 依 赖 于 辅 助
角
φ
!
所 以 要先 确 定 角
φ
的 值
．
记
f
)
C
*
＝
13
%
"
-
!"$
)
C＋
φ
*!
f
)
C
*
是 三 角函 数
!
角
C
的取值范围即为定义域
．
师
&
回 答 准 确
!
利 用 辅 助 角 公 式 的
同时要 确定辅助 角的 大小
!
函数 要有 定
义域才 完整
!
否则 研究 函数的 性质 犹如
空中楼阁
．
定义域于函数而言是土 壤和
前提
!
那我们不妨先探求角
C
的取值范围
!
然后再验证函数值能否取到
13
%
"
．
学生跃跃欲试
!
纷纷动笔尝试
．
生
&
设
AB
边 上 的 高 的 垂 足 为
D
!
BD＝ x
!
则
0%x%c
!
AD＝ c－x．
于 是 可 得
()$ ’ ACB ＝ ()$
)
’ D CA ＋ ’ DCB
*
＝
()$ ’DCA+()$ ’DCB
1-()$ ’DCA()$ ’DCB
＝
c-x
c
+
x
c
1-
c-x
c
-
x
c
＝
c
2
x
2
-cx+c
2
．
因为
0%x%c
!
所以
3c
2
4
%x
2
－
cx ＋ c
2
%c
2
!
因 此
()$ ’ACB ＝
c
2
x
2
-cx+c
2
&
(
1
!
4
3
)
．
A
B
C
D
图
1
师
&
该同 学利 用两角 和的 正切公 式
将几何 问题解析化
!
求出 了
()$*ACB
的
取值范 围
!
因为 其两 个端点 均不 是特殊
角的正切值
!
故保留正切范围
．
下面可 以
验证函数值能否取到
13
%
+
了吗
’
生
&
上 面 的 取 值 范 围 不 完 整
!
我 还
有补 充
．
以上 过程 只考虑 了点
D
在 线段
AB
上
（包含端点）
的情 形
!
点
D
也有 可能
04
C MY K
2 0 2 1
年
1
月（下旬）
<
投稿邮箱
：
!"#$%&’()*+,-./0
数学教学通讯
> 课程教材教法
在线段
AB
之外
!
即在两侧延长线上
!
不妨 设点
D
在线 段
AB
的 延长 线上
!
BD " x
"
x # 0
# !
则
AD " c $ x !
于 是 可
得
!"# !ACB "!"$
"
!ACD % !BCD
$
"
!%$!ACD-!"$!BCD
1&!"$!ACD!"$!BCD
"
c+x
c
-
x
c
1+
c+x
c
%
x
c
"
c
2
x
2
+cx+c
2
!
因 为
x# 0
!
所 以
!"$ ! ACB "
c
2
x
2
+cx+c
2
"
"
0
!
1
$
!
综 上
!
!"$ !ACB"
#
0
!
4
3
$
!
师
&
补充得好
!
考虑周到
’
思维严谨
.
经过大 家的合作
!
我们 求出 了三角 函数
f
"
C
$
"2’()C$3)*$ C
的定义 域
!
即角
C
的取
值范围满足
C"
"
0
!
π
$!
且
!%$C"
#
0
!
4
3
$
!
有了这 一范围后
!
我们 如何 验证函 数值
能否取到
13
&
%
(
生
&
由三 角函 数恒等 变换 的辅助 角
公式
!
得
f
)
C
$
"2+()C$3)*$ C" 13
&
%
)*$
"
C$
φ
$!
其中
)*$
φ
"
2
13
&
%
!
’()
φ
"
3
13
&
%
!
φ
为
锐 角
!
当且 仅当
C$
φ
"
π
2
!
即
)*$C"’()
φ
"
3
13
&
%
!
’()C " )*$
φ
"
2
13
&
%
!
亦 即
!%$C "
)*$C
’()C
"
3
2
时
!
f
"
C
$
取得最 大值
13
&
%
!
但
是
!
此 时
!%$C"
3
2
&
#
0
!
4
3
$
!
所 以 函 数
f
"
C
$
取不到最大值
13
&
%
!
师
&
由以上分析我们可以看到
!
13
&
%
确实 不是 函数
f
"
C
$
的最 大值
!
那 么最 大
值究竟是多少
(
如何求
(
生
&
令
!%$C
0
"
4
3
!
!%$C
1
"
3
2
!
则 有
0’
C’C
0
’C
1
"
π
2
%
φ
!
易知函数
f
"
C
$
" 13
&
%
%
)*$
"
C$
φ
$
在
"
0
!
C
0
*
上单调递增
!
所以当
C"
C
0
!
即
!%$C"!%$C
0
"
4
3
时
!
函 数
f
)
C
$
取 得
最大值
!
此时
!%$C"
4
3
!
即
)*$C"
4
5
!
’()C"
3
5
!
所 以
f
)
C
$
的 最大 值为
2(
3
5
$3)
4
5
"
18
5
!
因此
!
b
a
$
a
b
$
2c
2
ab
的最大值为
18
5
!
师
&
经过大家的合作探究
!
我们终于
真正求出了目标的最大值
!
之前很 多同
学不愿相信
13
&
%
是错误 答案
!
可见错 误
隐 藏 之深
!
请 大 家 反 思 并 小 结 一 下
!
这
样的错误是由哪些原因导致的
!
生
&
主要 有三 点原因
&
第一
!
混淆 不
等关系 约束与取 值范 围及最 值的 关系
+
第二
!
辅助角 公式使 用不 完整
+
第三
!
忽
略函数的定义域
!
师
&
大家 探究 深刻
!
小结 精炼
!
相 信
通过这 节课的探 究
!
大家 对这 三个知 识
的盲点 有了更深 刻的 理解
!
在今 后的 学
习 过程 中也 不 能忽 视
!
回 头再 看 原 题
!
其结果
2 2
&
%
为何是正确的
(
生
&
与 变 式 题 同 理
!
可 得 三 角 函 数
g
)
C
$
"2’()C$2)*$C"2 2
&
%
)*$
#
C$
π
4
’
（其
中
C"
（
0
，
π
），且
!%$C"
#
0
!
4
3
$
）
!
当且仅
当
C$
π
4
"
π
2
!
即
C"
π
4
时
!
g
)
C
$
取得 最大
值
2 2
&
%
!
此 时 满 足
!%$C"1"
#
0
!
4
3
$
!
所 以
AC
BC
$
BC
AC
$
AB
2
BC
%
AC
的 最 大 值 为
2 2
&
%
!
师
&
到 此
!
才 算 把 原 题 和 变 式 题 的
解题 过 程补 充完 整
!
并 求出 了最 值
!
期
中 考 卷 上 的 这 道 变 式 题 的 答 案 错 误 是
因为命 题教师的 草率改 编导 致的
+
而大
家所犯 的错误
!
则是 由于 大家混 淆不 等
关系约 束与取值 范围及 最值 的关系
!
辅
助角公 式使用不 完整
!
忽略 函数 的定义
域而导致的
!
在今 后的 学习中
!
希望 大家 务必要
保持严 谨的数学 态度
!
努力 养成 扎实的
数学素 养
!
面对 似是而 非的 问题要 敢于
质 疑
!
有 敏 锐的 思 辨 能 力
!
同 时 尝 试 探
究
!
这两道题解题过程中的错误隐藏 非
常之深
!
而且补 充完 善解题 过程 也有较
大难度
!
如此力 挽狂 澜非善 疑善 思者难
以为之
!
(
歪打正着，求而不得
虽然 没有 学生能 够独 立
’
完整 地写
出这道 变式题的 解题 过程
!
但却 有一 些
学 生 的 考 卷 上 所 填 的 答 案 恰 是 正 确 答
案
18
5
!
这是怎么一回事呢
(
由上面的分
析与验 证过程可 以看 到
!
目标 取得 最大
值时
!
!%$C"
4
3
!
此时
BD"x"
c
2
!
即点
D
恰
为
AB
边的中 点
!
而在 考试 过程中
!
一些
没有解 题思路的 学生 干脆大 胆猜 测
!
他
们直 接令
D
为
AB
边的 中点
（特殊位置）
!
求出结果
18
5
.
别无它法之下
!
歪打正 着
填对了答案
.
而另一些比较优秀
’
努力解
题的学生奋笔疾书之后求出
13
&
%
!
欣喜
若狂之 下填写的 却是 错误答 案
!
有一 定
的戏剧性
!
令人哭笑不得
!
值得 注意 的是
!
这样 的猜 测方法 不
具有合理性
!
也不适合原题
!
(
反思感悟，促进成长
这 道 期 中 考 卷 上 的 变 式 题 的 题 干
本是正 确的
!
但所 给的 答案和 学生 初次
解题的 过程却都 是错 误的
!
错误 点隐 蔽
又冷僻
.
先是由于命题教师改编试 题时
未经深思熟虑
!
才出现了错误答案如此
纰漏
!
而学生 解题时
!
同样 错误 百出
!
需
要纠偏
.
笔者组织学生进行了如上 的一
节探 究课
’
思 辨课
!
有 一定 的教 育 意义
.
同时
!
这些错误也不失为一例漂亮的
,
翻
车
-
典范
!
值得深究
’
品味与反思
!
*-
草率改编有险
，
命题需要斟酌
经过 变式 训练而 达到 举一反 三
’
触
类旁通 的目的
!
是中 国数 学教学 的特 色
之一
.
1
*
!
通过 改编 的方式 命题 本是一 种
有效
’
高效且 广泛 存在的 命题 形式
!
可
以一定 程度上降 低教 师的命 题难 度
!
也
使得新题如雨后春笋般层出不穷
!
但是
改编也 并非一挥 而就
!
如果 只是 简单地
将 经 典 题 的 条 件 稍 作 改 动 就 当 作 改 编
大功告 成
!
如此 轻率 的命题 常常 可能就
会导致一些出乎意料的错误
!
通过 改编 的方式 命题
!
绝不 是简 单
地改变 原题的条 件
!
首先 需要 教师对 原
05
C MY K
> 2 0 2 1
年
1
月（下旬）
投稿邮箱
：
!"#$%&’()*+,-./0
数学教学通讯
题的整体 结构和 命题 思路有 全局 把握
，
努力还 原原题命 制的 来龙去 脉
，
掌握 解
题过程 的前因后 果
，
还要 像庖 丁解牛 般
对 原 题进 行 深 入 探 究
、
精 准 分 解
，
理 解
每 个 条 件 的 关 键 作 用 和 环 环 相 扣 的 关
系
，
然 后命 题教 师 才可 以尝 试 改编
!
常
见的改编方式有
：
改动条件或目标
，
将条
件 重 新组 合
，
将 难 题 简 化
，
对 原 题 进 行
拓 展 或延 伸
，
考 虑 原 问 题 的 逆 问 题
，
更
加 或 者 大 刀 阔 斧 地 进 行 改 动 而 只 保 留
核 心 思想
，
等 等
，
但 是 在 形 成 一 个 初 步
改编想 法后
，
都要 反复 斟酌
，
再三 验算
，
努 力保 证改 编 试题 的科 学 性与 合理 性
!
改编的 最后一个 环节 也必不 可少
，
就是
评 估 改 编 试 题 的 效 度
、
难 度 和 区 分 度
［
"
］
．
比 如
，
倘 若 命题 教 师 发 现 期 中 考 卷
上的这 道变式题 的难 度之大
，
一定 会意
识 到 这 道 题 并 不 适 宜 出 现 在 高 一 的 期
中考卷上
．
1-
重视质疑思辨
，
主动创造机会
在 学 生 第 一 次 接 触 练 习 册 上 的 原
题时
，
几乎没 有学 生质疑 其答 案过程 的
完整性
，
当在 期中考 卷上 再次遇 到变 式
题时
，
考试后很多 学生依然坚 信
#$
%
姨
是
正确答案
，
可见学生普遍缺少质疑精神
，
这 可 能也 是
“
钱 学 森 之 问
”
范 畴 中 最 大
的 痛 点 之 一
．
而 国 家 已 意 识 到 了 这 一
点
，
没有质 疑精神 的学 生难以 成为 杰出
人 才
，
没 有 质疑 的 教 与 学 的 过 程
，
不 利
于 人 才的 培 养
，
所 以
《
普 通 高 中 数 学 课
程标准
（
"%&’
年版
）》
明确把
“
通过高中数
学课程的学习
，
使学生树立敢于质疑
、
善
于思考
、
严谨求实的科学精神
”
［
$
］
作为课
程标准 规定的教 学目 标之一
，
同时 也是
提升学生核心素养的重要途径
．
造 成 学 生 缺 乏 质 疑 精 神 的 原 因 也
并不都 在学生自 身
，
因为 学生 的质疑 精
神并不 会与生俱 来
，
而在 学生 十几年 的
学 习 过 程 中 也 少 有 机 会 经 历 质 疑 的 过
程
，
绝大多 数学生 接受 的都是 灌输 式教
育
，
培养了 较强的 依葫 芦画瓢 的模 仿能
力
，
但缺少 了珍贵 的批 判思维 与质 疑精
神
．
一 些教 师也 认 为
，
学 生时 代有 无 质
疑并不紧要
，
不会影响学生的成绩
，
反而
质 疑
、
探 究 会浪 费 大 量 的 时 间
，
所 以 很
少 启 发
、
引 导 学 生 去 质 疑
．
但
“
十 年 树
木
，
百年 树人
”，
任何 一个 优秀的 精神 品
质都需 要长期积 累
，
需要 教育 者不能 只
顾当下
，
更要为 长远 计
，
才能 水滴 石穿
、
水到渠成
，
培养出社会需要的杰出人才
．
此 文 写 在 新 冠 肺 炎 在 中 国 大 地 四
下 扩 散之 时
，
危 难 时 刻
，
正 是 那 些 顶 尖
科学家 的研究突 破
，
为国 家控 制疫情 和
治疗新 冠肺炎提 供了 科学的 研判 依据
，
而质疑 则是这一 切研 究的驱 动
，
只有 敢
于质疑 的学者才 有研 究的动 力和 方向
，
才可能有研究突破和创新发现
．
要想 培养学生的质疑精神
，
需 要教
师主动 创造质疑 机会
，
在日 常教 学中教
师要善于发现学生的认知冲突和矛盾
，
细
心捕捉 学生的疑 问
，
敏锐 觉察 学生的 思
维 活 动
，
努 力 挖 掘 质 疑 素 材
，
以 问 题 为
驱 动
，
以 解 题为 载 体
，
激 发 学 生 的 好 奇
心
，
鼓励
、
引导学生去质疑
，
并尝试探究
．
波利 亚在
《
怎样 解题
》
一书 中指 出
：
教 师 如 果 能 经 常 用 问 题 激 起 学 生 的 好
奇 心
，
并 使 学生 发 挥 创 造 力
，
而 且 如 果
学 生 用 自 己 的 思 考 方 式 和 方 法 解 决 了
问 题
，
那 么 学 生 就 能 获 得 一 些 进 步 和
成 长
，
而且享 受发现的喜 悦反过 来会 更
加激发 学生学习
、
探究 和思 考的热 情与
兴趣
［
(
］
．
,-
组织课堂探究
，
进行思辨教学
思辨 是探 究的主 要思 维活动
，
探 究
则是思辨的表现形式
．
将学生引 上质疑
之路后
，
不宜草草收尾
，
答疑了事
．
反而
，
对于一个普遍的
、
有深度的质疑素材
，
教
师应抓住机会
，
适时开展课堂探究
，
让所
有 学 生参 与 其 中
，
思 维 碰 撞
，
进 行 思 辨
教学
．
在课 堂探 究和思 辨教 学中
，
需 要教
师能从 主导角色 中转 变过来
，
更多 地扮
演组织 者与协助 者的 角色
，
教师 要有 意
识地激 发并引导 学生 自己提 出问 题
，
相
互质疑
，
深刻思辨
，
进行探究
．
问题探 究
常 常 充满 坎 坷
、
一 波 三 折
，
有 时 可 能 会
有多个 环节和步 骤
，
有时 会有 多条路 径
与方法
，
甚至有时会偏离主题或误入歧途
，
需要教 师及时引 导与 协助
，
激发 学生 不
断提出 质疑
，
修正 或优 化探究 过程 和结
果
，
适时还需相互讨论或辩论
，
将更多学
生代入参与
，
碰撞出思辨火花
．
在引导 与
协助时
，
教师 应注 重以激 发学 生自主 发
现与提出问题为目标
，
能巧妙引导
，
不露
刻意
，
不留痕迹
．
最后
，
需要教 师协助学
生进行归纳总结与评价反思
［
)
］
．
鼓励学
生大胆质疑
、
思辨
，
不仅能让课堂教学充
满生机与活力
，
更重要的是能激活学生
的思维活动
，
进入数学的理性思考
，
促进
数学核心素养的提升
．
就这道期中考卷变式题而言
，
如果
没有思辨
，
学生就不会发现其错误所在
，
更不会探究出真相
．
在探究过程中
，
笔者
并没有过多提醒
，
而是用问题作驱动
，
甚
至问题 中也少 有提醒
，
鼓励 学生 自主思
辨
，
尝试合作探究
．
2-
新课融入思辨
，
重视知识完整
学 生 之 所 以 没 能 发 现 结 果
#$
%
姨
是
错误的
，
是由 于混 淆不等 关系 约束与 取
值范围 及最值 的关系
，
辅助 角公 式使用
不 完 整
，
忽 略 函 数 的 定 义 域 而 导 致 的
，
这 些 都 反 映 出 学 生 对 概 念 的 轻 视 和 认
识 不 足
*
事 实上
，
学 生在 平常 解 题过 程
中所犯的错误
，
大多也因为如 此
．
这就要
求 广 大 教 师 在 日 常 教 学 中 应 尤 其 重 视
概念新 课的教 学与辨 析
，
注重 知识 结构
的 完 整性
，
使 学 生 不 仅 知 其 然
，
还 能 知
其所以然
．
参考文献：
［
#
］
章建跃
，
王嵘
．
中国数学教 科书使
用变式 素材的途径 和方法
［
!
］
．
数
学通报
，
"#$%
（
$&
）
．
［
"
］
任子朝
，
佟威
，
赵轩
，
等
．
高考试 题
难度预估研究
［
!
］
．
数学教育学报
，
"&$’
（
&%
）
．
［
$
］
中 华人 民 共和 国 教 育 部制 定
．
普
通 高 中 数 学 课 程 标 准
［
(
］
．
人 民
教育出版社
，
"&$’．
［
(
］
波 利 亚
（
著
），
涂 泓
、
冯 承 天
（
译
）
．
怎样 解题
［
(
］
．
上海
：
上海 科技 教
育出版社
，
"&&)．
［
)
］
从品
，
刘梦琰
．
好题精研与探究
，
方
法类比与归纳
，
思维碰撞与提升
——
—
以一道 数列逆问题 为例
［
!
］
．
数学
教学通讯
，
"&$*
（
+,
）
．
> 课程教材教法
06
C MY K
