金陵中学 2023 届高考一轮提升微专题
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抽象函数(2)
——抽象函数的对称性、周期性的综合应用
一、题组自测
题组一
1．(1)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1＋x)＝－f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于______对称．
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1＋kx)＝－f(1－kx)(k∈R 且 k≠0)，则函数 f(x)的图象关于
______对称．
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(2，0)对称，则 f(2)＝______．
(4)若定义在 R 上的函数 f(x)关于点(2，0)对称，则函数 f(2＋kx)(k∈R 且 k≠0)为______．
2．(1)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1＋x)＝f(1－x)，则函数 f(x)的图象关于______对称．
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(1＋kx)＝f(1－kx)(k∈R 且 k≠0)，则函数 f(x)的图象关于
______对称．
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x＝2 对称，则函数 f(2＋kx)(k∈R 且 k≠0)为
______．
题组二
1．(1)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－f(x)，则函数 f(x)的一个周期为______．
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝f(x－2)，则函数 f(x)的一个周期为______．
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝
1
f(x)
，则函数 f(x)的一个周期为______．
(4)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝－
1
f(x)
，则函数 f(x)的一个周期为______．
(5)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝
f(x)＋1
f(x)－1
，则函数 f(x)的一个周期为______．
(6)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x＋2)＝
1－f(x)
1＋f(x)
，则函数 f(x)的一个周期为______．
2．(1)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点 A(1，0)，点 B(3，0)均对称，则 f(x)一个周期
为______．
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 和 x＝－1 均对称，则 f(x)的一个周期为
______．
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x＝1 和点 C(－1，0)均对称，则 f(x)的一个周期
为______．
题组三
1．(1)已知函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x－1)，f(x＋1)均为奇函数，则 f(x)的一个周期为______．
(2)已知函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x－1)，f(x＋1)均为偶函数，则 f(x)的一个周期为______．
(3)已知函数 f(x)的定义域为 R，若 f(x－1)为奇函数，f(x＋1)为偶函数，则 f(x)的一个周期为
______．
2．(1)已知函数 f(x)的定义域为 R．若 f(2x－1)和 f(2x＋1)均为奇函数，则 f(x)的一个周期
______．
(2)已知函数 f(x)的定义域为 R．若 f(2x－1)和 f(2x＋1)均为偶函数，则 f(x)的一个周期______．
(3)已知函数 f(x)的定义域为 R．若 f(2x－1)为奇函数，f(2x＋1)为偶函数，则 f(x)的一个周期
______．
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二、知识梳理
(一)抽象函数的对称性
1．(1)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(a＋x)＝－f(a－x)，则 f(x)的图象关于______对称．
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(a＋kx)＝－f(a－kx)(k∈R 且 k≠0)，则 f(x)的图象关于
______对称．
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(a，0)对称，则 f(a)＝______．
(4)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点(a，0)对称，则 f(a＋kx)(k∈R 且 k≠0)为______．
2．(1)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(a＋x)＝f(a－x)，则 f(x)的图象关于______对称．
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(a＋kx)＝f(a－kx)(k∈R 且 k≠0)，则 f(x)的图象关于______
对称．
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 对称，则 f(a＋kx)(k∈R 且 k≠0)为______．
(二)抽象函数的周期性
1．(1)若对函数 f(x)定义域内的任意 x 恒有 f(x＋a)＝－f(x)，则 f(x)的一个周期为______．
(2)若对函数 f(x)定义域内的任意 x 恒有 f(x＋a)＝f(x－a)，则 f(x)的一个周期为______．
(3)若对函数 f(x)定义域内的任意 x 恒有 f(x＋a)＝
1
f(x)
，则 f(x)的一个周期为______．
(4)若对函数 f(x)定义域内的任意 x 恒有 f(x＋a)＝－
1
f(x)
，则 f(x)的一个周期为______．
(5)若对函数 f(x)定义域内的任意 x 恒有 f(x＋a)＝
f(x)＋1
f(x)－1
，则 f(x)的一个周期为______．
(6)若对函数 f(x)定义域内的任意 x 恒有 f(x＋a)＝
1－f(x)
1＋f(x)
，则 f(x)的一个周期为______．
说明：上述式子中①所有的 a∈R 且 a≠0；②所有的分式的分母均不为零．
2．(1)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于点 A(a，0)，B(b，0)(a，b∈R 且 a≠b)均对称，
则 f(x)一个周期为______．
(2)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和 x＝b(a，b∈R 且 a≠b)均对称，则 f(x)
的一个周期为______．
(3)若定义在 R 上的函数 f(x)的图象关于直线 x＝a 和点 B(b，0)(a，b∈R 且 a≠b)均对称，则
f(x)的一个周期为______．
(三)抽象函数的奇偶性
1．(1)已知函数 f(x)的定义域为 R，a，b∈R，且 a≠b．若 f(x＋a)，f(x＋b)均为奇函数，则
f(x)的一个周期为______．
(2)已知函数 f(x)的定义域为 R，a，b∈R，且 a≠b．若 f(x＋a)，f(x＋b)均为偶函数，则 f(x)
的一个周期为______．
(3)已知函数 f(x)的定义域为 R，a，b∈R，且 a≠b．若 f(x＋a)为奇函数，f(x＋b)为偶函数，
则 f(x)的一个周期为______．
2．(1)已知函数 f(x)的定义域为 R，a，b∈R，且 a≠b．若 f(kx＋a)，f(kx＋b)均为奇函数，则
f(x)的一个周期______．
(2)已知函数 f(x)的定义域为 R，a，b∈R，且 a≠b．若 f(kx＋a)，f(kx＋b)为均偶函数，则 f(x)
的一个周期______．
(3)已知函数 f(x)的定义域为 R，a，b∈R，且 a≠b．若 f(a＋kx)为奇函数，f(kx＋b)为偶函数，
则 f(x)的一个周期______．
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三、综合应用
例 1 (单项选择)已知函数 f(x)的定义域为 R，f(x＋2)为偶函数，f(2x＋1)为奇函数，则( )
A．f(－
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)＝0 B．f(－1)＝0 C．f(2)＝0 D．f(4)＝0
【方法总结】
变式训练 (多项选择)已知定义在 R 上的函数满足 f(x＋2)＝－f(x)，且 f(x＋1)为偶函数，下
列命题中正确的是( )．
A．f(x＋4)＝f(x)
B．f(x)的图象关于 x＝1 对称
C．f(x)为奇函数
D．f(x)为偶函数
例 2 (多项选择)已知函数 f(x)及其导函数 f '(x)的定义域均为 R，记 g(x)＝f '(x)．若 f(
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－2x)，
g(2＋x)均为偶函数，则( )
A．f(0)＝0 B．g(－
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)＝0 C．f(－1)＝f(4) D．g(－1)＝g(2)
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【方法总结】
1．若 f(x)是可导的奇函数，则其导函数 f '(x)是______；若函数 f(x)是可导的偶函数，则其导
函数 f '(x)是______．
2．若 f(x)是可导的周期为 T 的函数，则其导函数 f '(x)也是______，与_________________．
四、自主探究
对于抽象函数，由对称性可以推出奇偶性；由对称性可以推出周期性；由奇偶性可以推
出对称性和周期性等．你还能得出哪些性质?
五、学习体悟
1．这节课主要学习哪些内容?
2．研究这些内容主要用了什么数学思想方法?
3．通过本节课的学习提升你的哪些关键能力？
