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为什么用 χ
2
进行独立性检验？
——基于“独立性检验”教学的一些反思
①
王泽扬
(江苏省南京市金陵中学 210005)
在新一轮的课程改革中，原先部分江苏省不考､不教的内容，现在重新回到了广大师生
的面前，例如高中数学选修 2－3 教科书的第三章统计案例．在江苏 2008 年至 2020 年间的
高考改革试点中，高考不考察独立性检验的有关内容，导致这称为部分教师的知识“盲区”．
概念教学是高中数学教学中最重要的一环，作为新一轮课程改革中变化最多的一部分，
概率与统计是对教师们挑战最大的．如何在核心素养的指导下，让学生能够真正厘清知识的
来龙去脉，建立起知识的关联?
一､独立性检验的来龙去脉
独立性检验是分布的拟合检验的一种．分布的拟合检验是对总体分布的形式建立假设并
进行检验的过程．生物学中，有一个很著名的例子：19 世纪，孟德尔(Mendel)按颜色与形状
把豌豆分为四类：黄色圆粒､绿色圆粒､黄色皱粒与绿色皱粒．孟德尔根据遗传学原理判断这
四类的比例应为 9：3：3：1．为了进行验证，孟德尔在一次豌豆实验中随机收获了 n＝566
个豌豆，其中这四类豌豆的个数分别为 315，108，101，32．该数据是否与孟德尔提出的比
例吻合?
这一例子是属于分类数据的检验问题，它的一般情形为：根据某项指标，总体被分为 r
类：A
1
，…，A
r
，此时我们最关心的是关于各类元素在总体中所占的比率的假设
H
0
：A
i
所占的比率是 p
i0
，i＝1，2，…，r， (*)
其中 p
i0
已知，满足
i
＝
1
r
∑p
i0
＝1．
解决这一问题的根本，是弄清实验所得的观测值数据与理论上的预期值之间的差距究竟
有多大。要这一差距多大才算大?1900 年，英国数学家 K·皮尔逊(Karl Pearson)提出用统计
量
χ
2
＝
类型
∑
(观测值－预期值)
2
预期值
(**)
来衡量观测值与估计值间的差异
[2]
．
(**)式提供了实际观测值与理论估计值接近程度的一个度量．当原假设 H
0
为真时，它
的值应该比较小，所以其拒绝域为{χ
2
≥c}，其中 c 为待定的临界值．为了控制上述检验的第
一类错误，我们必须知道此检验统计量在原假设成立下的分布．K·皮尔逊已经证明：在各项
假设 H
0
成立时，对(**)的检验统计量 χ
2
按分布收敛于 χ
2
(r－1)，其自由度为 r－1．因此，对
于假设(*)，我们可以采用如下的显著性水平近似为 α 的显著性检验：检验统计量如(**)所示，
拒绝域为
W＝{χ
2
≥χ
1
－
α
2
(r－1)}
[2]
．
回到高中教学，课程标准要求，通过实例，理解 2×2 列联表的统计意义，了解 2×2 列
联表独立性检验及其应用
[1]
．在教学过程中，我们仅限于 2×2 列联表的独立性检验，掌握
运用 2×2 列联表的方法，解决独立性检验的简单实际问题．即便如此，对于学生而言，独
立性检验的完成流程还是难于理解的．
二､教学设计
教材分析与学情分析。《独立性检验》是苏教版普通高中教科书(实验)高中数学选修 2
－3 第三章的第 1 节内容．这部分内容是大学的统计学中统计推断的一部分内容，与高中知
①
本文系南京市教育科学规划第十一期个人课题“中英高中数学教科书中概率统计内容的比较研究”(市
规划个十一字第 0c3000 号)的阶段性研究成果．
本文发表于《全国优秀作文选·教师教育》2021(05)．
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识之间具有一些断层．当学生遇到教学的重点难点时，就需要基于理解､攻破难点，从而突
出重点．
本节内容重在假设检验．为了让学生在大量的数据和抽象的运算之后，仍能知道自己在
做什么､仍能体会到统计问题研究的一般过程，教师需要精心设计教学环节，一环套一环，
使得学生不至于迷失方向．
基于以上分析，本节课的教学目标是：(1)基于 2×2 列联表，通过对典型案例的探究，
了解独立性检验的基本思想，掌握独立性检验的基本步骤，会用独立性检验解决简单的实际
问题，提升数据分析能力；(2)经历由实际问题建立数学模型的过程，体会其中的基本方法．
教学重点：独立性检验的理解与基本方法．
教学难点：独立性检验的基本思想的领会与方法的应用．
教学设计片断分析：
环节 1 合理抽样､收集数据
设计问题情境。每年的 5 月 31 日是世界无烟日．有关医学研究表明，许多疾病，例如：
心脏病､癌症､脑血管病､慢性阻塞性肺病等都与吸烟有关．某医疗机构为了了解呼吸道疾病
与吸烟是否有关，进行了一次抽样调查，共调查了 515 个成年人，其中吸烟者 220 人，不吸
烟者 295 人．调查结果是：吸烟的 220 人中有 37 人患呼吸道疾病(简称患病)，183 人未患呼
吸道疾病(简称未患病)；不吸烟的 295 人中有 21 人患病，274 人未患病．
根据这些数据能否断定：患呼吸道疾病与吸烟有关?
环节 2 整理成 2×2 列联表
我们将上述数据(观测值)用下表表示：
患病
未患病
合计
吸烟
37
183
220
不吸烟
21
274
295
合计
58
457
515
设计意图 从生活与医学中引出一个常见的问题：两个分类变量Ⅰ与Ⅱ之间是否有有关
系?由此，引导学生抽象出数学问题，并将问题的形式简单化，从而自然地得到 2×2 列联表
的概念．
环节 3 提出假设，算出估计值
为了研究患呼吸道疾病是否与吸烟有关，最直接的想法是：分别计算出在吸烟样本和不
吸烟样本中患病的频率，利用频率来近似地估计概率．根据表格中的数据，可以粗略地估计
出：
在吸烟的人中，有
37
220
≈16.82%的人患病；在不吸烟的人中，有
21
295
≈7.12%的人患病．因
此，从直观上可以得出结论：吸烟者与不吸烟者患呼吸道疾病的可能性存在差异．
由上述结论能否得出患病与吸烟有关?当我们需要证明的结论并不好直接证明时，我们
可以用反证法加以证明．
提出假设 H
0
：患病与吸烟没有关系．
我们将表中的“观测值”用字母表示，则得下表：
表 1 观测值
患病
未患病
合计
吸烟
a
b
a＋b
不吸烟
c
d
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d＝n
基于前面学习的事件的独立性，利用利用频率近似替代概率，若假设 H
0
成立，则
a
n
≈
a＋b
n
×
a＋c
n
，得 ad－bc≈0．因此，考虑|ad－bc|．这个值越小，患病与吸烟之间的关系越
弱．若不然，则关系越强．
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基于该假设与独立性的知识，可以算出以下四人群的人数(如表 2 所示)．
表 2 估计值
患病
未患病
合计
吸烟
(a＋b)(a＋c)
n
(a＋b)(b＋d)
n
a＋b
不吸烟
(c＋d)(a＋c)
n
(c＋d)(b＋d)
n
c＋d
合计
a＋c
b＋d
a＋b＋c＋d＝n
设计意图 引导学生了解：如何用数学的语言来说明患病与吸烟“没有关系”?这是本
节课的难点．一方面，学生会停留在具体数据上，而无法抽象到一般情形；另一方面，学生
会停留在“比例差不多”的表面上，不利于课堂的自然开展．
环节 4 寻找一个科学､合适的“距离”——χ
2
如何刻画观测值 a，b，c，d 与估计值
(a＋b)(a＋c)
n
，
(a＋b)(b＋d)
n
，
(c＋d)(a＋c)
n
，
(c＋d)(b＋d)
n
之间的差异呢?
学生 1：“距离”
1
＝|a－
(a＋b)(a＋c)
n
|＋|b－
(a＋b)(b＋d)
n
|＋|c－
(c＋d)(a＋c)
n
|＋|d－
(c＋d)(b＋d)
n
|
(其他学生认为不合适，同样不能消除样本容量的影响；同时，类比探究方差公式时的经验，
绝对值不利于计算与化简)；
学生 2： “ 距离”
2
＝
1
n
[|a －
(a＋b)(a＋c)
n
|＋ |b －
(a＋b)(b＋d)
n
|＋ |c －
(c＋d)(a＋c)
n
|＋ |d－
(c＋d)(b＋d)
n
|] (其他学生认为不合适，认为每类人群应除以自身相应的“权重”)；
学生 3 ： “ 距离”
3
＝
(a－
(a＋b)(a＋c)
n
)
2
a
＋
(b－
(a＋b)(b＋d)
n
)
2
b
＋
(c－
(c＋d)(a＋c)
n
)
2
c
＋
(d－
(c＋d)(b＋d)
n
)
2
d
；
学生 4 ： “ 距离”
4
＝
(a－
(a＋b)(a＋c)
n
)
2
(a＋b)(a＋c)
n
＋
(b－
(a＋b)(b＋d)
n
)
2
(a＋b)(b＋d)
n
＋
(c－
(c＋d)(a＋c)
n
)
2
(c＋d)(a＋c)
n
＋
(d－
(c＋d)(b＋d)
n
)
2
(c＋d)(b＋d)
n
．
学生们在“距离”
3
和“距离”
4
中展开了激烈的讨论．最终，达成统一意见，选择“距离”
4
来表示．教师补充解释：一方面，我们是与一种基于假设的理想状态，即吸烟与患病没有关
系进行比较，因此除以估计值；另一方面，在统计学中，百年以来人们也一直使用这个方式
进行刻画(利用数学史中 K·皮尔逊提出的统计量帮助说明)，这就是 χ
2
统计量．
设计意图 学生在之前学习方差时已经有过类似的经验，因为方差刻画的也是某种“距
离”，只不过对于方差而言，是每一样本数据与一个恒定不变的参照——平均数之间的“距
离”．在这里，需要学生进行迁移、类比，以求进一步地发展出适合这个更深入的问题的统
计量．
综上所述，独立性检验的教学环节中需要注意四个关键点．
其一，渗透统计思想与概率思想．统计基本的思想是用样本估计总体．统计是不确定的，
我们通过科学､合理的抽样，基于数学原理，将观测到的现象抽象成数学问题，用数学的语
言､统计的方法来加以解释说明，进而帮助我们作出推断与决策
[3]
．其二，基于典型案例的
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教学．统计学的案例应源于生活､抽象于生活，为这也是统计学诞生的“初心”．其三，让
学生经历提出问题､数据收集､数据整理与分析､作出推断与决策的统计研究全过程．每一环
节环环相扣，所以在教学过程中，要有流程图，引导学生意识到，什么是统计学研究问题的
过程，究竟要经历哪些环节．这为学生们升入高校后从事更加高水平的科学研究做了铺垫，
同时也能让学生感受到数学研究的乐趣．
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部．普通高中数学课程标准(2017 年版 2020 年修订)[M]．北京：人
民教育出版社，2018.1：8．
[2] 茆诗松，程依明，濮晓龙．概率论与数理统计教程[M]，第二版．北京：高等教育出版社，
2011.2：212，283－286，356，387．
[3] 张淑梅，马波．对“新课标”中概率与统计内容及要求的认识[J]．数学通报，2005(2)，
16．
