主题视域下的数学概念教学
——从“函数的单调性”说起
南京市金陵中学 张松年
zhs npine@ sina．com
视域通常是指一个人的眼光所涉及的范围，是一种与主体有
关的能力．
视域既有有限性，也有无限性．
视域的有限性是指：即使不为事物所阻挡，视域的最大范围
也就是感知的边界；
视域的无限性是指：随着主体的运动，视域可以随意地延伸，
边界是永远无法达到的．
视域的有限性与被感知的实在性有关，视域的无限性与未被
感知的可能性有关．
一个人的感知、想象、感受、直观、体会、判断等意识行为
都具有自己的视域．
新的普通高中课程标准实验教材教材分为五个主题，按知识发展
的逻辑顺序分成若干条主线，组合成一个有机的整体．
预备知识 函数 几何与代数 概率与统计 建模与探究
第1章集合
第2章常用
逻辑用语
第3章不等
式
第5章函数
第6章幂指对函数
第7章三角函数
第8章函数应用
第5章导数及应用
第4章数列
第4章指数
与对数
第9章平面向量
第10章三角变换
第11章解三角形
第13章立体几何
第12章复数
第1章直线与方程
第2章圆与方程
第3章圆锥曲线与方程
第6章空间向量与立体几何
第14章统计
第15章概率
第7章计数原理
第8章概率
第9章统计
数学建模
与
数学探究
数学建模
与
数学探究
一、函数单调性的教学分析
二、理解数学概念及其教学
三、贯通主题展开的明暗线
一、函数单调性的教学分析
1．教学内容分析
2．教学目标分析
3．教学对象分析
4．教学技术分析
5．教学设计分析
6．教学检测分析
一、函数单调性的教学分析
1．教学内容分析
函数的单调性是研究当自变量不断增大时，函数值是增大还是减小
的性质．如函数单调增表现为“随着自变量的增大，函数值也增大”这
一特征．这与函数的奇偶性不同，函数的奇偶性是研究自变量取两个相
反数时，对应的函数值是否也是相反数，即函数的对称性质．
从宏观上来说，函数的单调性是函数的局部性质，在整个定义域上
不一定具有；从微观上来说，函数的单调性是函数在单调区间上的整体
性质，对单调区间内任意的x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，有f(x
2
)＞f(x
1
)(或f(x
2
)＜
f(x
1
))，是全称量词命题．这与函数的奇偶性、函数的最大值、最小值不
同，它们是函数在整个定义域上的性质．
1．教学内容分析
函数单调性的研究方法具有典型意义，体现了对函数研究的一般方
法——数形结合，由直观到抽象，由特殊到一般．首先借助对函数图象
的观察、分析、归纳，发现随着自变量的增加函数值增、减变化的直观
特征，进一步量化，发现函数值这种增、减变化的数量特征，从而进一
步用数学符号刻画．
函数单调性的概念是研究具体函数单调性的依据，在研究函数的值
域、定义域、最大值、最小值等性质中有重要应用(函数内部)；在解不
等式、证明不等式、解方程、数列的性质等数学的其他内容的研究中也
有重要的应用(函数外部)．因此，不论在函数内部还是在外部，函数的
单调性都有重要作用，在数学中具有核心地位．
教学的重点是引导学生对函数在区间(a，b)上“随着x增大，y也增
大(或减小)”这一特征进行抽象的符号描述：在区间(a，b)上任意取x
1
，
x
2
，当x
1
＜x
2
时，有f(x
2
)＞f(x
1
)(f(x
2
)＜f(x
1
))，则称函数f(x)在区间(a，b)
上是增(减)函数．
2．教学目标分析
本节课的学习目标是理解函数在某区间上有单调性的意义，掌握用
单调性的定义证明简单函数在某区间上具有某种单调性的方法(步骤)．
(1)能够以具体的例子说明某函数在某区间上是增函数还是减函数；
(2)能够举例并通过作图说明函数在定义域的子集(区间)上具有单调
性，而在整个定义域上未必具有单调性，说明函数的单调性是函数的局
部性质；
(3)对于一个具体的(有理)函数，能用单调性的定义判断或证明它在
某区间上是增(减)函数：在该区间内任意取x
1
，x
2
，设x
1
＜x
2
，作差f(x
1
)
－f(x
2
)，然后判断这个差的符号是恒负(正)，得出f(x
2
)＜f(x
1
)(f(x
2
)＞
f(x
1
))，从而说明该函数在该区间上是增(减)函数．
3．教学对象分析
学生已有的认知基础是：
在初中学习过函数的概念，初步认识到函数是一个刻画某些运动变化
现象中数量关系的数学概念，还学习过一次函数、二次函数、反比例函
数等简单、具体的函数，初步了解了它们的图象及性质；
进入高中以后，又进一步学习了函数的概念，认识到函数是两个非空
数集之间的一种对应关系，知道函数有三种表示方法，特别是可以借助
图象对函数特征加以直观考察．
尤其值得注意的是，学生有利用不等式的性质比较两个数大小的经验
和意识．
“在平面直角坐标系中，从左至右，如果函数的图象是上升的，那
么函数是增函数；如果函数的图象是下降的，那么函数是减函数”仅就
图象角度直观描述函数单调性的特征学生并不感到困难．
困难在于：把具体函数的直观形象的“单调性”特征抽象出来，并
用数学符号语言描述， 即把“在某 区间I上，随着x的增大， y也增
大”(增函数)这一特征用 “对任意的x
1
，x
2
∈I，当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＜
f(x
2
)”进行刻画．
其中最难理解的是：为什么要在该区间上“任意”取两个不等的数
x
1
，x
2
．
企图在一节课中完成学生对函数单调性的真正理解是 不大现实
的．在今后，学生将会通过利用基本初等函数的单调性判断一些复杂函
数的单调性，寻找函数的单调区间，运用函数的单调性解决具体问题等
一系列学习活动，逐步理解这个概念．
教学中，通过对函数(可以是气温函数，也可以是一次函数、二次函
数)等具体函数的图象及数值变化特征的研究或体验，得到“从左至右，
图象是上升的”，相应地，即“随着x的增大，y也增大”，初步提出增
函数的说法．通过讨论、交流，让学生尝试对一般情况进行刻画，提出：
在某区间上，如果对任意的x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＜f(x
2
)，那么
函数在该区间上具有“从左至右，图象是上升的”“随着x的增大，y也
增大”的特征．进一步给出增函数的定义．然后通过练习、交流、讨论、
辨析等，帮助学生理解这一概念．
4．教学技术分析
为了有效实现教学目标，可以借助计算机或者图形计算器等绘制函
数的图象，同时辅以坐标计算、跟踪点等手段观察函数的数值变化特征，
逐渐淡化可视化感觉，提高理性认识．
5．教学设计分析
(1)认识研究函数单调性的必要性
前面已经学习过函数的概念(主要是随着一个量的变化另一个量也随
着变化)、函数的表示方法，紧接着要对函数进行哪些方面的研究？那就
必须研究这种变化的特征(性质)．研究函数的性质，是为了更好地把握
客观世界的变化规律．
5．教学设计分析
(1)认识研究函数单调性的必要性
对于运动变化问题(如图1所示的气温变化)，
图 1
2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-2
4
6
8
10
2
O
t
最基本的就是要研究变
化的增或减、快或慢……相应的，函数值的特征就包含：函数的增与减
(单调性)，最大(小)值、增(减)的快慢等，使学生感受到，紧接着研究函
数的性质是必然的学习任务．
案例1
5．教学设计分析
(1)认识研究函数单调性的必要性
也可以由教师引导，借助对一些函数图象的观察，对所观察到的特
征进行归类，引入函数的某个性质的研究．
有图象从左至右上升(下降)的特征或有时上升有时下降的特征，有
图象关于原点中心对称的特征，也有关于y轴轴对称的特征，等等．我们
将逐一研究这些特征以及这些特征反映出来的函数的性质．
图 1
y
x
1
1
O
3
2
－2 －1
(3)
2
y
1
1
－1
O
2
－2
2
－1
(1)
x
y
x
1
1
－1
O
2
2
－1
(2)
－2
比如，观察图1中各个函数
的图象，请学生说说它们分别反映了相应函数的哪些变化特征？
案例2
(2)函数单调性的认识
问题串的设计大体从两个层次上展开，目的是经历从直观到抽象，
从特殊到一般的过程．
首先利用函数的图象描述变化规律，如先从图象上升、下降的几何
直观的角度认识函数的单调性；
然后从数值变化的角度描述变化规律，图象从左至右上升(下降)，
也就是随着x的增大y也增大(减小)；
最后用数学符号语言描述函数值的变化规律．
(2)函数单调性的认识
问题1 如图1，观察某天的气温函数＝f(t)，t∈[0，24]的图象，分别说
说随着x的增大，图象的变化情况．
函数＝f(t)，t∈[0，24]的图象在区间[0，4]上从左至右是下降的，
在区间[4，14]上从左至右是上升的，在区间[14，24]上不好判断，但总
的呈下降趋势．
意图：通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征，体验自
变量从小到大变化时，函数值的大小变化在图象上的表现．
图 1
2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-2
4
6
8
10
2
O
t
＝f(t) ，t∈[0，24]
案例1
(2)函数单调性的认识
初步提出函数单调性的意义：函数图象的升降反映了函数的一个基
本性质单调性．
我们把函数＝f(t)，t∈[0，24]在区间[0，4]上的图象从左至右下降
的特征所反映的函数的性质称为“单调递减性” ，同时称函数＝f(t)，
t∈[0，24]在区间[0，4]上是“减函数”；在区间[4，14]上的图象从左
至右上升的特征所反映的函数的性质称为，同时称函数＝f(t)，t∈[0，
24]在区间[4，14] 上是“增函数”．
(2)函数单调性的认识
若学生主动提出“增函数”的一般定义，则可以讨论“为什么可以
这样定义”，让学生以函数＝f(t)，t∈[0，24]为例解释定义的合理性．
这个问题跨度大，具有较高的思维要求，需要“跳一跳才能摘到果
子”．教学中，可以让学生开展讨论、交流．通过学生的活动，逐渐认
识函数单调性的刻画方法．
问题2 对于函数＝f(t)，t∈[0，24]在区间[4，14]上的图象 从左至右，
图象上升”“随着x的增大，f(x)的值也增大”的特点，应该怎样用数学
语言刻画呢？
教师提出不妨先研究函数＝f(t)，t∈[0，24]在区间[4，14]上(如图2)
的变化情况．
通过对函数图象的观察，我们已经用数学自然语言描述了在区间[4，
14]上图象的特征：随着时间的推移，
从“形”的角度来看，图象从左至右逐渐升高；
从“数”的角度来看，随t的增大而增大．
如何用数学符号语言来刻画函数＝f(t)，t∈[0，24]在区间[4，14]
上，“随t的增大而增大”这一特征呢？
图 2
2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-2
4
6
8
10
2
O
t
＝f(t) ，t∈[0，24]
方案一：
在区间[4，14]上，函数的图象自左至右不断上升，其意思是只要在
函数的图象上任意取两个点(如图3)，右边的点一定比左边的高，即横坐
标大的点，纵坐标也大．
这两个点是这一段图象上的两个特殊点，还是两个任意点？
图 3
4 14 24
-2
O
t
＝f(t) ，t∈[0，24]
P
2
P
1
2
t
1
t
2
1
10
应该是两个任意点，否则，函数的图象在其他点处可能出现波动(如
图4所示)．
相应地，只要在区间[4，14]内取两个任意不同的值t
1
，t
2
，得到对
应的函数值
1
，
2
．当t
1
＜t
2
时，都有
1
＜
2
，所以，在区间[4，14]上，
随t的增大而增大．
图 4
4 14 24
-2
O
t
＝f(t) ，t∈[0，24]
P
2
P
1
2
t
1
t
2
1
10
方案二：
表述一：在区间[4，14]内取几个不同的值，例如t
1
＝5，t
2
＝6，t
3
＝
8，t
4
＝10，得到相对应的
1
，
2
，
3
，
4
．在t
1
＜t
2
＜t
3
＜t
4
时，有
1
＜
2
＜
3
＜
4
，所以，在区间[4，14]上，随t的增大而增大．
表述二：在区间[4，14]上，随t的增大一直在增大，而表述一中的
这种描述只能说明当t取5，6，8，10时，随t的增大而增大，而不能反
映当t取区间[4，14]内的其他值时，相应值的变化情况，从而不能说明
在区间[4，14]上，随t的增大而增大．应该在区间[4，14]内取n个不同
的值t
1
，t
2
，t
3
，，t
n
，得到相对应的
1
，
2
，
3
，，
n
．当t
1
＜t
2
＜t
3
＜＜t
n
时，有
1
＜
2
＜
3
＜＜
n
，从而说明在区间[4，14]上，随t的
增大而增大．
表述三：表述二只能说明当t取区间[4，14]内有限个数时的变化情
况，并不能反映当t取区间[4，14]内其他值时，随t的增大而增大．应该
在区间[4，14]内取无数个不同的输入值t
1
，t
2
，t
3
，…，t
n
，…，得到相
对应的
1
，
2
，
3
，…，
n
，…，当t
1
＜t
2
＜t
3
＜…＜t
n
＜…时，有
1
＜
2
＜
3
＜…＜
n
＜…，从而说明在区间[4，14]上，随t的增大而增大．
表述四：表述三仍然不能说明在区间[4，14]上，随t的增大而增
大．因为区间[4，14]内除了无数个数外仍然有其他的数，不能反映当t
取区间[4，14]内其他值时，随t的增大而增大．应该在区间[4，14]内取
所有的值t，得到相对应的．当t增大时，有也增大，从而说明在区间
[4，14]上，随t的增大而增大．
表述五：但是，区间[4，14]内所有的数我们是无法取的．怎么办呢？
我们只能在区间[4，14]内任意取，为了表示t在增大，我们在区间[4，14]
内任意取两个值t
1
，t
2
，且t
1
＜t
2
，如果一定有
1
＜
2
，那么就可以说在区
间[4，14]上随t的增大而增大．
给出函数单调性的一般定义：
一般地，设函数y＝f(x)的定义域为A，区间IA．
如果对于区间I内的任意两个值x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＜f(x
2
)，
那么就说函数y＝f(x)在区间I上是增函数(或函数f(x)在区间I上单调增)，
同时称I是函数f(x)的增区间；
如果对于区间I内的任意两个值x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有f(x
1
)＞f(x
2
)，
那么就说函数f(x)在区间I上是减函数(或函数f(x)在区间I上单调减)，同时
称I是函数f(x)的减区间．
如果函数f(x)在区间I上是增函数或减函数，那么称函数f(x)在区间I
上具有单调性．函数f(x)的增区间和减区间统称为f(x)的单调区间．
给出函数＝f(t)，t∈[0，24]在区间[4，14]上是增函数的数学表达．
如果对任意的t
1
，t
2
∈[4，14]，当t
1
＜t
2
时，都有
1
＜
2
(f(t
1
)＜f(t
2
) )，
那么称函数＝f(t)，t∈[0，24]在区间[4，14]上是增函数．
(2)函数单调性的认识
问题1 如图3，观察一次函数f(x)＝x＋1和二次函数f(x)＝x
2
的图象，分
别说说随着x的增大，图象的升降情况．
函数f(x)＝x＋1的图象从左至右是上升的；函数f(x)＝x
2
的图象在y轴
左侧是从左至右下降的，在y轴右侧是从左至右上升的．
图 2
y
x
1
－1
O
1
(1)
2
－2
2
－1
y
x
1
－1
O
1
(2)
2
3
4
2
案例2
意图：通过几何直观，引导学生关注图象所反映出的特征，体验自
变量从小到大变化时，函数值的大小变化在图象上的表现．
(2)函数单调性的认识
初步提出函数单调性的意义：函数图象从左至右的升降反映了函数
的一个基本性质单调性．
教师指出把函数f(x)＝x
2
在y轴左侧的图象从左至右下降的特征所反
映的函数的性质称为“单调递减性”，同时称函数f(x)＝x
2
在区间(－，
0)上是“减函数”；在y轴右侧的图象从左至右上升的特征所反映的函
数的性质称为“单调递增性”，同时称函数f(x)＝x
2
在区间(0，＋)上
是“增函数”．
下面以二次函数f(x)＝x
2
为例，通过列出x，y的对应值来研究它的上
升与下降情况．
问题2 观察下列表格，描述二次函数f(x)＝x
2
的值随x增大的变化特征：
意图：从一个特殊例子，结合前面的图象特征，从数值变化的角度
认识函数的单调性．
函数f(x)＝x
2
的图象在y轴左侧“从左至右下降”，也就是说，在区
间(－，0)上，随着x的增大，相应的f(x)值反而随着减小；函数f(x)＝x
2
的图象在y轴右侧“从左至右上升”，也就是说，在区间(0，＋)上，随
着x的增大，相应的f(x)值也随着增大．
x
…
－4
－3
－2
－1
0
1
2
3
4
…
f
(x)＝x
2
…
16
9 4 1 0
1
4
9
16
…
问题3 对于一般的定义域为非空数集A的函数f(x)，如果在A的子集I(区
间)上有“从左至右，图象上升”“随着x的增大，f(x)的值也增大”的特
点，那么应该怎样用数学语言刻画呢？
意图：从形象到抽象，从具体到一般．先让学生尝试描述函数f(x)
在区间I上“从左至右，图象上升”“随着x的增大，f(x)的值也增大”的
特征．
这个问题具有较高的思维要求，需要“跳一跳才能摘到果子”．教
学中，可以让学生开展讨论、交流．通过学生的活动，逐渐认识函数单
调性的刻画方法．在这个过程中，二次函数的特征是一个具体的载体，
可以起到验证、支持作用．
若学生主动提出函数单调增的一般定义，则可以讨论“为什么可以
这样定义”，让学生以二次函数f(x)＝x
2
为例解释定义的合理性．
如何用数学符号刻画二次函数f(x)＝x
2
在区间(0，＋)上，随着x的
增大，相应的f(x)值也随着增大？
上述表格能说明“函数f(x)＝x
2
在区间(0，＋)上随着x的增大相应
的f(x)也随着增大”吗？
x
…
0 1 2 3 4
…
f(
x)＝
x
2
…
0 1 4 9
16
…
在区间(0，＋)内多取一些值，如取n个不同的值x
1
，x
2
，x
3
，…，
x
n
，当x
1
＜x
2
＜x
3
＜…＜x
n
时，有f(x
1
)＜f(x
2
)＜f(x
3
)＜…＜f(x
n
) ，能说明
在区间(0，＋) 上，f(x)随x的增大而增大吗？
在区间(0，＋)内取无数个不同的值x
1
，x
2
，x
3
，…，x
n
，…，当x
1
＜x
2
＜x
3
＜…＜x
n
＜…时，有f(x
1
)＜f(x
2
)＜f(x
3
)＜…＜f(x
n
)＜…，能说明
在区间(0，＋) 上，f(x)随x的增大而增大吗？
y
x
O
图4
如图4所示，没有理由说明f(x)的值不产生波动．
因为在区间(0，＋)内除了这无数个数x
1
，x
2
，x
3
，…，x
n
，…外，
仍然有其他的数，不能反映当t取区间(0，＋)内其他值时， f(x)＝x
2
随x
的增大而增大．
应该说明“x取遍区间(0，＋)内所有的值，
当x增大时，有f(x)的值也增大”才行．
怎么办呢？只能在区间(0，＋)内任意取．为
了表示x在增大，我们在区间(0，＋)内任意取两个
值x
1
，x
2
，且x
1
＜x
2
，如果一定有f(x
1
)＜f(x
2
)，那么
就可以说在区间(0，＋)上f(x)随x的增大而增大．
由于学生对函数的熟悉和了解，觉得一切都是那么显然，这容易冲
淡对“任意取”必要性的认识，因此，这个背景不如气温曲线有效．
在学生原有的认知结构基础上，若感性材料不典型，本质属性不明
显，则受到非本质属性的干扰就越多，会影响新概念的形成．
(3)函数单调性的应用
通过具体的函数单调性的证明过程进一步加深对函数单调性的认识．
例1 请分别画出下列函数的图象，指出它们的单调区间，并给出证明．
(1)y＝2x＋1；(2)y＝－x
2
＋2；
(3)y＝
1
x
．
解 描点画图．
由图知，函数y＝2x＋1的增区间为(－，＋)．
证 函数y＝2x＋1的定义域为区间(－，＋)．
设x
1
，x
2
是区间(－，＋内的任意两个值，有
y
1
－y
2
＝2x
1
＋1－(2x
2
＋1)＝2(x
1
－x
2
)．
(1)函数y＝2x＋1的图象如图(1)所示．
x
y
O
1
图(1)
当x
1
＜x
2
时，有x
1
－x
2
＜0，
所以 y
1
－y
2
＜0，即y
1
＜y
2
．
因此，函数y＝2x＋1在区间(－，＋上是增函数．
(2)函数y＝－x
2
＋2的图象如图(2)所示．
由图知，函数y＝－x
2
＋2的增区间为(－，0]，
减区间为[0，＋)．
证 设x
1
，x
2
是区间[0，＋内的任意两个值，有
y
1
－y
2
＝(－x
2
1
＋2)－(－x
2
2
＋2)＝(x
2
2
－x
2
1
)
x
y
O
2
图(2)
＝(x
2
＋x
1
)( x
2
－x
1
)．
当0≤x
1
＜x
2
时，有
x
2
－x
1
＞0，x
2
＋x
1
＞0，
所以 y
1
－y
2
＞0，即 y
1
＞y
2
．
因此，函数y＝－x
2
＋2在区间[0，＋上是减函数．
类似地，可证函数y＝－x
2
＋2在区间(－，0]上是增函数．
(3)函数 y＝
1
x
的图象如图－(3)所示．
由图知，函数 y＝
1
x
的单调减区间为(－，0)，(0，＋．
证 设x
1
，x
2
是区间(0，＋内的任意两个值，有
y
1
－y
2
＝
1
x
1
－
1
x
2
＝
x
2
－x
1
x
1
x
2
．
当0＜x
1
＜x
2
时，有
x
2
－x
1
＞0，x
2
＋x
1
＞0，
所以 y
1
－y
2
＝
x
2
－x
1
x
1
x
2
＞0，
即y
1
＞y
2
，
因此，函数 y＝
1
x
在区间(0，＋)上单调减．
同理，函数 y＝
1
x
在区间(－，0)上单调减．
x
O
y
1
－1
图(3)
1
－1
证明函数在某个区间上的单调性的步骤：
①设元 在指定区间内任取两个数x
1
，x
2
，且x
1
＜x
2
②作差 f(x
1
)－f(x
2
)
③变形 f(x
1
)－f(x
2
)＝(x
1
－x
2
)g(x
1
，x
2
)
④定号 判断f(x
1
)－f(x
2
)与0的大小关系
⑤结论 根据函数单调性的定义作出结论
例题教学中应把重心放在思路的分析(函数单调性的理解、运用)上，
具体的证明步骤教师先示范，余下的让学生书写，教师点评．
必须注意的是，例1的这种证明方式(作差、变形、定号)不是函数单
调性的定义所要求的，是基于不等式的性质来进行的，一般只能用于有
理函数．事实上，幂指对函数和三角函数的单调性是不能用这种方式证
明的，是我们通过观察函数的图象直觉（包括画图时计算数据的感觉）
发现的，还包含了归纳、猜想的思维过程．基本初等函数的单调性是我
们进一步研究复杂函数单调性的平台(可作为推理的依据)．
练习 1 画出函数 y＝1－
1
x
的图象．
(1)指出这个函数的定义域；
(2)该函数在定义域上具有怎样的单调性？说明你的结论．
解 (图象略)．
(1)这个函数的定义域是(－，0)∪(0，＋)．
(2)该函数在区间(－，0)和(0，＋)上都是增函数(证明略) ．但
在定义域上没有单调性(说明略)．
意图：进一步体会 图象是函数单调性的最直观的呈现，单调性是
函数的局部性质．
练习2 对于定义在R上的函数f(x)，下列说法是否正确？请举例画图说明
理由：
(1)若对于区间(0，＋)内的任意x，都有f(x)＞f(0)，则函数f(x)在区
间[0，＋)是增函数；
(2)若函数f(x)在区间(－，0)和区间[0，＋)上都是增函数，则函数
f(x)在区间R上是增函数．
意图：使学生进一步体会定义中“任意”二字的必要性．
理解概念，辨析很重要，反例是很好的支撑．
6．教学检测分析
(1)举一个联系实际生活的减函数例子，并加以说明．
(2)证明函数f(x)＝x
2
－2x在区间(1，＋)上是增函数．
(3)研究函数 f(x)＝
x＋1，x＜0，
2x，x≥0
的单调性．
教学检测的设计要体现对基础知识、基本方法、基本能力的考查，
力求检查学生对本节课学习内容的理解．
(4)请你说一说本节课所学的主要内容．
二、理解数学概念及其教学
1．理解数学概念
2．理解数学概念教学
二、理解数学概念及其教学
数学概念是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一
种反映形式，是人类在认识过程中，从感性认识到理性认识，把所感知
的事物的共同本质特点抽象出来，加以概括，形成的一类对象的共同特
征、属性的名称或标记，常用词或词组表示．
数学概念是数学思维活动的结果和产物，是数学知识领域的基石，
同时又是数学学习、思维活动借以进行的最基本单元，是数学理解、表
达、沟通、交流、分享的桥梁．
数学概念有内涵和外延，即涵义和适用范围，要准确理解数学概念
的内涵和外延．(区间内，任意，都；区间上)
正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技能、
发展核心素养(数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析)的前提．
1．理解数学概念
二、理解数学概念及其教学
2．理解数学概念教学
数学概念是构成作为一般数学思维形式的判断与推理的表现方
式的定理、法则、公式的基础．
数学概念教学是指基本的数学定义(性质、判断)、原理、法则
的教学活动，是高中数学中至关重要的一项内容，是基础知识和基
本技能教学的核心．
二、理解数学概念及其教学
2．理解数学概念教学
概念学习有两种方式：概念形成和概念同化．
概念形成：指个体借助于语言，从他人那里继承和学会包含于概
念中的知识和经验的过程．同类事物的关键特征可以由学习者从大量
的同类事物的不同例证中独立发现．
概念同化：是利用学习者认知结构中原有的概念，以定义的方式
直接给他提示概念的关键特征，从而使其获得概念的方式．
概念同化是学生获得概念的主要形式．学生概念的学习都是以已
有的知识经验为基础进行的，认知结构中的原有概念可以为一个新概
念的吸收提供一个固着点，当学生在已有的概念和新概念之间建立起
一种实质性的联系后，就会获得新概念的具体意义．
函数图象从左至右上升——函数值随着自变量的增大而增大——增函数．
区间内，任意，都；区间上．
2．理解数学概念教学
数学概念教学要做好下列三个方面的工作：
(1)数学概念教学的环节
(2)数学概念教学的过程
(3)数学概念教学的方式
二、理解数学概念及其教学
①背景展示
②具体例证
③意义建构
④抽象概括
⑤严格定义
⑥辨析理解
⑦巩固运用
⑧系统完善
2．理解数学概念教学
(1)数学概念教学的环节
二、理解数学概念及其教学
实际情境、原有概念、数学问题
典型、丰富的属性分析、比较、综合
具体的共同特征得到概念的具体属性
共同的本质特征得到概念的本质属性
准确的数学语言（符号）描述或表述
以实例（正、反）分析关键词的含义
形成用概念作判断的具体步骤或形式
建立与相关的数学概念的联系或关系
培养思维的主动性
培养思维的必要性
培养思维的敏捷性
培养思维的准确性
培养思维的缜密性
培养思维的辩证性
培养思维的深刻性
培养思维的广阔性
生活经验越丰富，获得新概念的效果就越好．若感性材料太少，则
其感知就不充分，表象就不丰富，也就难以辨析各种对象的本质属性．
练习3 (1)若f(x)是R上的增函数，则f(x)是区间[0，1]上的增函数吗？
(2)设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)在区间(－，0]和[0，＋)
上都是增函数，则f(x)在区间R上是增函数吗？
(3)设f(x)是定义在R上的函数，若f(x)在区间(－，0)和(0，＋)
上都是增函数，则f(x)在区间R上是增函数吗？
练习 4 若 f(x)＝
x＋a，x＜0，
2x，x≥0
是增函数，试指出实数 a 的取值范围．
教学中要讲清概念的确定性，正面揭示概念的本质属性，明确表示
符号．为了深刻理解概念，必须通过正例与反例对概念进行辨析．
2．理解数学概念教学
(1)数学概念教学的环节
二、理解数学概念及其教学
概念教学的环节决定了概念教学的过程．
数学概念教学要体现“实、细、严”．“实”是指“实际、踏实、
实效”；“细”是指“细致、全面、规范”；“严”是指“严格、严
谨、准确”．具体要落实在“讲、问、练”这三个字上．
①讲：
(i)谁讲？讲什么？
讲来源、过程、合理性．
(“随着一个量的增大，另一个量也越来越大”的现象)
(ii)怎么讲？
从遵从学生的认知结构上讲，从知识的延续性上讲，从数学内部
的需要上讲，从刻画生活实际的需要上讲，从解决问题的需要上讲．
(物质的溶解度、初中学习的三类函数模型、气温等现实中的变化、最优化问题)
(2)数学概念教学的过程
2．理解数学概念教学
二、理解数学概念及其教学
②问
(i)谁问？问什么？
问概念产生过程中的发现．(随着一个量的增大，另一个量增大或减小)
问特殊到一般性、一般到特殊．(某函数的“函数值随着自变量的增大而增大”的刻画)
问概念中的关键词、必备的条件．(任意、都)
问概念判断的方法．(反例、存在)
(ii)怎么问？
要围绕教学目标问；(函数值的变化与自变量的变化的关系)
要遵从学生的认知基础问．(溶解度、生活体验、学习体验)
问辨析：要有明确的指向；(是、不是)
问拓展：要有发散性；(一般化)
问探索：要有思维空间．(不定函数)
(2)数学概念教学的过程
2．理解数学概念教学
二、理解数学概念及其教学
③练
(i)练什么？
练概念的呈现； (以具体函数为例，形式化说明函数的单调性)
练概念的应用； (以具体函数为例，利用单调性比较函数值的大小、求函数的最大(小)值或值域)
练概念的盲点． (函数在区间上单调与函数的单调区间、局部单调和整体单调)
(ii)怎么练？
动口练；
动脑练；
动手练．
听懂的能说出来；
理解的能想出来；
会做的能写出来．
(2)数学概念教学的过程
2．理解数学概念教学
二、理解数学概念及其教学
概念教学过程中要关注：是否有利于促进学生的主动建构和是否
能揭示数学概念的本质．
有什么普遍性问题？为什么要研究？怎样才能准确刻画？
函数的单调性的定义；单调性是函数在定义域的某个子区间上的
性质，是函数的局部性质，是局部的整体性．
x
y
O
1
y＝0.0002x＋1
y＝0.0002x
2
＋1
x
y
O
1
(2)数学概念教学的过程
2．理解数学概念教学
二、理解数学概念及其教学
概念教学的过程体现了概念教学的方式．
常见的教学方式有”三种：
①教师领着学生走；
②教师学生齐步走；
③教师跟着学生走 ，
要转变观念，从“领”向“齐”过渡，最终实现“跟” ．
(不同阶段函数的研究方式)
①搭建学习平台．(生活体验、知识基础)
②留足思维空间．(学生举例，引出概念的必要性、正反两个方面、分类讨论)
③避免教学内卷．(建立在记忆基础上的模仿训练和建立在紧凑基础上的学生活动)
(3)数学概念教学的方式
2．理解数学概念教学
二、理解数学概念及其教学
函数单调性的证明步骤．
函数单调性的潜在价值、刻画单调变化( 增、减)的程度
概念教学的追求：清楚、自然、简洁
概念 学生 教师
清楚
概念内涵
是清楚
的
学生学习是
清楚
的
教学内容
是清楚
的
自然
概念
生成是自然
的
学生思维是
自然
的
教学过程是
自然
的
简洁
概念
表达是简洁
的
学习过程是
简洁
的
教学活动是
简洁
的
学好概念是学好数学的基础．学生数学素养的差异往往是在对数
学概念的理解、应用和转化等方面的差异形成的．一些学生数学之
所以学不好，概念不清往往是最直接的原因．因此，认真研究概念
教学是提高教学质量的带有根本性意义的举措．
三、贯通主题展开的明暗线
函数主题的展开
主线：函数性质 函数性质 函数性质 函数性质 函数性质
载体： 一二反 幂指对 三角 数列 导数
方法：数形结合、函数与方程、化归与转化、分类讨论、特殊与一般
函数主题是高中数学内容的主干，函数几乎贯穿于全部内容．
函数与方程的思想是学生在学习函数内容的过程中经过思维活动而
形成的行为方式和情感方法，是从函数各部分内容的内在联系和整体角
度来分析问题、研究问题和解决问题的观念，是更高层次上的抽象、概
括与提炼。
克莱因说“一般受教育者在数学课上应该学会的重要事情是用变量
和函数来思考”．函数的学习有助于学生主动地去思考、解决问题．
某地某日24小时内的气温变化图
2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-2
4
6
8
10
2
0
t/h
/C°
请同学们描述一下，这一天该地24小时内气温的变化状况．
函数主题发展的明线
三、贯通主题展开的明暗线
图－1
2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-2
4
6
8
10
2
O
t/h
/C°
图－2
2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-2
4
6
8
10
2
O
t
＝f(t)，t∈[0，24]
抽
象
(
去
物
理
化
)
＝f(t)，t∈[0，24]
2
4 6 8 10 12 14 16 18 20 22 24
-
2
4
6
8
10
2
O
t
数学刻画、单调性、有界性、奇偶性、周期性、变化的速度
用数学的眼光观察世界，用数学的思维思考世界，用数学的语言描述世界
数学抽象、逻辑推理、数学建模、数学运算、直观想象、数据分析
1
x
→
x＋1
x
→
x＋1
x－1
→
x
2
＋1
x
2
－1
→
2
x
＋1
2
x
－1
→
lnx＋1
lnx－1
→
sinx＋1
sinx－1
，
→
x－1
x
→
x－1
x＋1
→
2
x
－1
2
x
＋1
→
a
x
－1
a
x
＋1
→
a
x
＋c
a
x
＋b
→
p·a
x
＋c
q·a
x
＋b
，
案例1 函数代换
三、贯通主题展开的明暗线
f(x)＝ln
x－1
x＋1
→f(－x)＝ln
－x－1
－x＋1
＝ln
x＋1
x－1
＝－f(x)．
f(x)＝
x－1
x＋1
→f(
1
x
)＝
1－x
1＋x
＝－f(x)→f(2
－
x
)＝
1－2
x
1＋2
x
＝－f(2
x
)，
根据函数f(x)，g(x)的性质，研究f(g(x))的性质．研究这样的具体复
合函数的性质，贯穿必修一，如P142习题6.2第13，14题，P149习题6.3
第10题，P153～154复习题第4，12题，P155本章测试第15题等．
练习5 试指出函数f(x)＝(x
2
－1)
2
－2的单调区间．
函数主题发展的暗线
案例2 几个函数恒等式模型及其图象的对称性
(1)奇偶性；
(2)周期性．
(1)f(－x)＝f(x)；
(2)f(－x)＝－f(x)；
(3)f(x＋T)＝f(x)；
(4)f(a－x)＝f(b＋x)；
(5)f(a－x)＝－f(b＋x)．
函数性质
恒等模型
图象特征
关于 轴轴对称；
关于原点中心对称；
呈现周而复始现象；
关于直线 ＝
＋
轴对称；
关于点
＋
，中心对称．
三、贯通主题展开的明暗线
案例2 函数的凹凸性
设函数 f(x)＝x
2
，证明：
f(x
1
)＋f(x
2
)
2
≥f(
x
1
＋x
2
2
)．
x
2
→x
n
(x＞0，n∈Z，n≠0)→a
x
(a＞0，a≠1)→log
a
x→sinx(0＜x＜)→f(x)→f ''(x)
这样以具体函数为载体，隐形研究函数的凹凸性，贯穿在教材的习
题中．
三、贯通主题展开的明暗线
为所有学生的发展提供帮助，为学生的不同发展提供选择空间．
任何概念都是在解决问题的过程中产生的，都是因为现有
的概念不够用了而产生的，让学生参与概念的定义过程，新概
念的定义是合理的．
让学生参与举例是非常重要的教学活动(为什么举这个例
子)，数学理解永远是第一位．
学生的认知基础、认知心理，永远是老师应该尊重的．教
学规律永远需要琢磨．
教师应让学生举例给大家研究，应当“主持人”，不是
“演员”．缺少学生参与的教学过程是无效的教学过程．
教师应力求将学生培养成“主动找活干”的人，能给学生
的终生发展留下点有用的东西．
为所有学生的发展提供必要帮助，为学生的不同发展提供选择空间．
谢谢！
