几种数学高考创新题及功能解析
南京市金陵中学 于健 210005
近几年，随着新课程改革的深入，数学高考试题在坚持能力立意，全面考察学生的数学知识、方法和数
学思想的基础上，积极探索试题的创新设计，涌现了一大批格调清新、立意新颖、设计独特的能力型创新试
题，着力考察学生的创新研究能力和学习潜力等综合素质．它有利于引导中学数学教学注重提高学生的思维
能力、发展应用意识、创新意识．笔者研究了多年来高考试卷或模拟卷中出现的创新性试题，归纳总结了概
念定义型、类比归纳型、问题开放型、问题探究型等几种主要创新试题的特点、求解策略，尤其对各类创新
题型的考查功能也作了系统分析，以期抛砖引玉：
1．概念定义型
概念定义型问题是指，通过定义一些教材中没有出现过的数学概念或规则，需要解题者依据这个定义的
概念或规则去解决一个问题，或者由这个概念引申出一个数学命题并要求解决这个数学问题．
例 1．（ 2015 年山东文科卷第 14 题）定义运算“
”：
22
xy
xy
xy
（
,0x y R xy，
）.当
00xy，
时，
(2 )x y y x
的最小值是 .
解：由题意得，
2 2 2 2
(2 ) 4
(2 )
(2 ) 2
y x y x
yx
y x xy
，因为，
00xy，
，
所以，
2 2 2 2 2 2
4 2 2 2
(2 ) 2
2 2 2
x y y x x y xy
x y y x
xy xy xy xy
，当且仅当
2xy
时，
(2 )x y y x
的最小值是
2
.
评析：本题在实数运算的基础上定义了实数对的新的运算“
”，要求考生在阅读理解及准确把握的基
础上，把新的运算转化为熟悉的运算，从而运用已有的基本不等式知识求出最值．
例 2.(2012 年福建卷第 10 题)函数 f(x)在[a，b]上有定义，若对任意 x
1
，
x
2
(a，b)，有 f(
x
1
＋x
2
2
)≤
1
2
[f(x
1
)＋
f(x
2
)]，则 f(x)称在[a，b]上具有性质 P.设 f(x)在[1，3]上具有性质 P，现给出如下命题：
①f(x)在[1，3]上的图像时连续不断的；②f(x)在[1，
3
]上具有性质 P；
③若 f(x)在 x＝2 处取得最大值 1，则 f(x)＝1，x∈[1，3]；
④对任意 x
1
，x
2
，x
3
，x
4
∈[1，3]，有 f(
x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
4
)≤
1
4
[f(x
1
)
＋f(x
2
)＋ f(x
3
)＋f(x
4
)]
其中真命题的序号是
A.①② B.①③ C.②④ D.③④
解答：命题①中，如图所示的函数 f(x)的是满足性质 P 的，
但 f(x)不是连续不断的．所以①错误．
命题②中，假设：f(x)＝－x 在[1， 3]上具有性质 P，f(x
2
)＝ －x
2
在[1， 3]上不具有性质 P．所以②错误．
命题③中，因为 f(2)＝f(
x＋(4－x)
2
)≤
1
2
[f(x)＋f(4－x)]，
f(x)＋f(4－x)≥2，
f(x)≤f(x)
maxa
＝f(2)＝1，
f(4－x)≤f(x)
max
＝f(2)＝1．
f(x)＝1
所以，对于任意 x
1
，x
2
[1，3]，f(x)＝1 命题③正确．
命题④中，f(
x
1
＋x
2
＋x
3
＋x
4
2
)＝f(
(x
1
＋x
2
)＋(x
3
＋x
4
)
2
)
≤
1
2
[f(
x
1
＋x
2
2
)＋f(
x
3
＋x
4
2
)]
≤
1
2
[
1
2
(f(x
1
)＋f(x
2
))＋
1
2
(f(x
1
)＋f(x
2
))]
≤
1
4
[f(x
1
)＋f(x
2
)＋f(x
3
)＋f(x
4
)]
所以命题④正确．答案：D．
评析：首先通过对该题“原材料”的分析，提取与原有知识的共性信息，即 f (x)是定义在区间[a， b]
上的函数；再分析获取与原有知识相区别的信息：该函数具有性质
P
，即对若对任意x
1
，
x
2
(a，b)，f(
x
1
＋x
2
2
)
≤
1
2
[f(x
1
)＋f(x
2
)]．也可通过模拟二次函数 f (x) ＝ ax
2
的图像来理解性质P的涵义为：定义域上任意两个变量
平均数的函数值小于这两个变量函数值的平均数，最后在正确理解函数 f (x)及其性质P 的基础上即可正确
推断以下的四个命题．本题解决体现了数形结合的思想、抽象化归为具体的思想．
概念定义题型的功能在于：
第一，考察学生对数学的理解．传统的考试题目，都是对学生学习过的知识的考察，不会涉及教材中没
有出现过的概念或命题，学生通过对教材内容的学习，已经在大量练习的基础上形成了解决与此相关内容的
基本技能，掌握了解决这些问题的基本方法．但是，这样的学习方式并不意味学生就一定理解了与问题相关
概念的本质属性，有可能是机械学习的结果．概念定义题，把解决问题的逻辑起点定位在初始位置，学生要
在对所定义的概念或规则理解的基础上，才能解决后面的问题或抽象出新的命题．显然，这样的命题方式与
传统题型相比有了质的飞跃，从考察学生的基本技能转身考察学生对数学的理解能力．
第二，考察学生的逻辑思维能力．在已知原理的基础上依据推理去解决具体的问题是逻辑思维能力的作
用，即逻辑思维是从一般到特殊的思维形式．概念定义题需要学生理解定义并由此去解决问题，这是对学生
逻辑思维能力的直接考量，学生不能理解这个概念或规则就显然不能推理，但是理解了这个概念或规则也不
一定就能推理，此时需要其他数学能力的支撑．但是，从理解概念、规则到能应用概念规则这个过程本身就
是考察学生基本的逻辑思维能力，这是概念定义题特有的功能．
2．类比归纳型
类比是将式子结构、运算法则、解题方法、问题结论等引申、迁移、推广，由已知探索未知、 由旧知探
索新知；归纳则是从若干特殊现象中总结出一般规律，从而寻找解决问题策略．类比归纳主要考查学生的观
察、分析、类比、归纳的能力．
例3．(2003 年全国卷文科第15题)在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC的两边AB，AC互相垂直，则AB
2
＋AC
2
＝BC
2
.”拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系．可以得
出的正确结论是：“设三棱锥A—BCD的三个侧面ABC、ACD、ADB两两相互垂直，
则 ”．
分析：关于空间问题与平面问题的类比，通常可抓住几何要素的如下对应关系作对比：多面体 多边
形，体积 面积，面积 线段长，面 边，……勾股定理揭示了一个直角三角形的两条直角边
与斜边三者之间的关系，由类比得知，要探讨的是题设的三棱椎A－BCD的三个侧面与底面之间的面积关系．通
过观察勾股定理的形式于是作出猜想
S
2
△
ABC
＋S
2
△
ACD
＋S
2
△
ABD
＝S
2
△
BCD
证明如下：由于三棱锥 A－BCD 的三个侧面 ABC、ACD、ADB 两两相互垂直，所以三条侧棱 AB、AC、AD
两两垂直，可证明 AD⊥面 ABC，则 AD⊥BC，在△ABC 中，过点 A
作 AE⊥BC，垂足为 E，连接 ED，
∵BC⊥AE,BC⊥AD,AE∩AD=A,BC⊥面 AED，∴BC⊥DE，
S
2
△
ABC
＋S
2
△
ACD
＋S
2
△
ABD
＝(
BC·AE
2
)
2
＋(
AC·AD
2
)
2
＋(
AB·AD
2
)
2
＝
AD
2
(AB
2
＋AC
2
)
4
+
AE
2
·BC
2
4
＝
BC
2
·AD
2
4
＋
AE
2
·BC
2
4
＝
BC
2
(AD
2
＋AE
2
)
4
＝
BC
2
·ED
2
4
＝ S
2
△
BCD
评析：类比创新型试题主要有:从平面推广到空间、从一元或二元推广到多元、从特殊推广到一般、模式类
比探究同构结论等．一般来说，“求同存异”、“逐步细化”、“先粗后精”是求解类比推理创新题的基本
技巧，关键在于确定类比物，建立类比项．从解题的思想方法、思维策略等层面寻求内在的关联，是对运算
和方法的类比，而不是根据原命题的结论猜测新命题的结论．
例 4．(2009 年福建理科卷第 15 题) 五位同学围成一圈依序循环报数,规定:①第一位同学首次报出的数
为 1，第二位同学首次报出的数也为 1，之后每位同学所报出的数都是前两位同学所报出的数之和；②若报
出的数为 3 的倍数，则报该数的同学需拍手一次.已知甲同学第一个报数，当五位同学依序循环报到第 100
个数时，甲同学拍手的总次数为_______.
解析1： 观察学生报数，1，1，2，3，5，8，13，21，34，55，89，144，233，377，610，987 ……，这是
著名的“斐波那契数列”，观察发现3的倍数出在4n(nN*)的位置，甲同学是在5m－4(mN*)的位置上报数，
只有二者重合时才拍手，所以可令5m－4＝4n，5m＝4(n＋1)
只有当m＝4时，n＝4；m＝8时，n＝9；m＝12时，n＝14；m＝16时，n＝19；m＝20时，n＝24；所以拍了5
次．
解析2：我们还可以这样想：将这个数列的每一项除以3得余数分别是1、1、2、0、2、2、1、0、1、1、2、0、
2、2、1、0……由此可见余数的变化规律是按1、1、2、0、2、2、1、0循环，或者是每4个数出现一个3的倍
数.
评析：本题以报数拍手游戏为背景设计问题情境，考察数列的变化规律，通过观察、分析、联想、归纳
规律是解决此类问题的方法，把能被3整除的数的出现规律与甲同学所报数的出现规律结合起来是解决本题
的关键.
类比归纳型题型的功能在于：
第一：类比、归纳都是很重要的科学研究方法.类比既是一种推理方法(类比推理是一种合情推理),同时
也是一种学习方法,尽管由类比推理得出的结论不一定正确,但由于类比在寻找解决数学问题的方法和途径
上以及发现科学奥秘方面更优于逻辑推理,特别是它在培养学生的发散思维和创新思维能力方面有其独特的
作用.归纳推理是由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，
或者是由个别事实概括出一般结论的推理，是由部分到整体、由特殊到一般的推理，它在数学结论及其证明
思路的发现中、科学发明中都起着非常重要的作用．
第二：加强了对考生归纳与类比能力的考查.试题中往往给出一个命题且指出一个方向，要求考生从已
知的结构出发，通过类比、归纳、猜想、论证的方式得到一般的结论或新命题，渗透了从局部到整体、从特
殊到一般思维方法．
3．问题开放型
开放型创新试题主要是指或条件不完备、或结论不明确、或答案不唯一，给学生留有较大探索空间的题
目．这一类问题以其复杂多变、形式新、解法活、综合性强、知识覆盖面宽，对灵活选择方法的要求较高，
注重考查探索精神和创新意识等特征．在解这类问题时,须通过分析判断、演绎推理、联想转化、尝试探索、
猜想验证等多种思维方法去寻求解题途径.
例 5．△ABC 的三个内角 A、B、C 的对边的长分别为 a、b、c，有下列两个条件：
（1）a、b、c 成等差数列；（2）a、b、c 成等比数列，
现给出三个结论：(1)0＜B≤
π
3
；(2)acos
2
C
2
＋c cos
A
2
＝
3b
2
；(3)1＜
1＋sin2B
cosB＋sinB
≤ 2.
请你选取给定的两个条件中的一个条件为条件，三个结论中的两个为结论，组建一个你认为正确的命题，并
证明之.
分析：本题通过选择不同的条件和结论可以组合成 6 个不同的命题，其中正确的命题也不止一个，使问题
具备了开放性.将分析—猜想—证明的思维过程巧妙地融入解题过程，以新颖的知识呈现方式改变学生的常
规思维，可以很好地考查了学生的创新能力.此处仅证明一个命题：
△ABC 中，若 a、b、c 成等差数列，求证：(1)0＜B≤
3
(2)acos
2
C
2
＋c cos
A
2
＝
3b
2
；
证明(1) ∵a、b、c 成等差数列∴2b＝a＋c， ∴b＝
2
ca
cosB＝
a
2
＋c
2
－b
2
2ac
＝
a
2
＋c
2
－(
a＋c
2
)
2
2ac
＝
3(a
2
＋c
2
)－2ac
8ac
≥
6ac－2ac
8ac
＝
1
2
且 B∈(0，π)，∴0＜B≤
π
3
(2)acos
2
C
2
＋ccos
2
A
2
＝a
1＋cosC
2
＋c
1＋cosA
2
＝
a＋c
2
＋
acosC＋ccosA
2
＝
a＋c
2
＋
b
2
＝
3b
2
注：本题还有几个正确命题，读者可自行证明.
问题开放型题型的功能在于：
第一： 有利于学生思维能力的考查.开放题由于具有结果开放、方法开放、思路开放等特点，它改变了
学生原来的思维模式，要求学生能充分发挥联想和想象的空间，从多角度、多方位、多层次进行思考, 其思
维方向和模式的发散性有利于创造性能力的形成，在考场特定的环境下更能考查学生思维的广阔性、敏捷
性 、批判性等.
第二： 有利于对学生处理信息优化解题途径能力的差异的考查.传统的封闭型问题指向都比较单一明确，
而在开放性试题的解答过程中，没有固定的、现成的模式可循，学生必须充分调动自己的知识储备，根据问
题条件与结论的内在逻辑关系 ，运用多种思维方法进行思考和探索，寻找快捷的推理方式或运算途径，优
化解题思路等.
第三： 开放性试题还可以促进教师角色的转变.对教师来说，开放性试题的出现以及对其教育功能的肯
定，既反映了数学教育观念的转变，实际上也反映了人们对于数学教学新模式的追求.开放题的层次性使全
体学生真正参与学习活动成为可能，即使学习困难的学生也能做出一种或几种答案，能从中体验到成功的乐
趣.有利于数学教育面向全体学生，实现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数
学上得到不同的发展”的新课改目标.教师在教学过程中，不再是教学活动的唯一主角，而是“编剧”和“导
演”；不只是知识的单纯传授者，而是教学内容和教学活动的设计者、促进者、示范者、组织者、协调者.
4．问题探究型
探究型创新试题往往是探究问题的解决方法，以考察学生的综合素质与创新精神，是学生创造力的体现，
解答时应注意抓住有限的（或隐含的）题设条件，通过联想，创造性地运用知识，设计出解决问题的方法，
化归转化与分类讨论是解决这类问题的常用数学思想.
例 6. 已知动圆过定点 P(1，0)，且与定直线 l：x＝－1 相切，点 C 在 l 上.
（1）求动圆圆心的轨迹 M 的方程；
（2）设过点 P，且斜率为－ 3的直线与曲线 M 相交于 A，B 两点.
（i）问：△ABC 能否为正三角形？若能，求点 C 的坐标；若不能，说明理由；
（ii）当△ABC 为钝角三角形时，求这种点 C 的纵坐标的取值范围.
解（1）由曲线 M 是以点 P 为焦点，直线
l
为准线的抛物线，知曲线 M 的方程为 y
2
＝4x.
（2）（i）由题意得，直线 AB 的方程为 y＝－ 3(x－1)，由
y＝－ 3(x－1)，
y
2
＝4x．
消 y 得 3x
2
－10x＋3＝0，解得 x
1=
1
3
，
，
x
2
＝3.
于是， A 点和 B 点的坐标分别为 A
)
3
32
,
3
1
(
，B(3，
32
)，
.
3
16
2||
21
xxAB
假设存在点 C(－1，y)，使△ABC 为正三角形，则|BC|＝|AB|且|AC|＝|AB|，即有
(3＋1)
2
＋(y＋2 3)
2
＝(
16
3
)
2
，
(
1
3
＋1)
2
＋(y－
2
3
)
2
＝(
16
3
)
2
．
由①－②得 4
2
＋(y＋2 3)
2
＝(
4
3
)
2
＋(y－
2 3
3
)
2
解得 y＝－
14 3
9
.
①
②
32
(3，
32
)
3
32
xy 4
2
因为 y＝－
14 3
9
不符合①，所以由①，②组成的方程组无解.
故知直线 l 上不存在点 C，使得△ABC 是正三角形.
(ii)设 C(－1，y)使△ABC 成钝角三角形，
由
y＝－ 3 (x－1)，
x＝－1．
得 y＝2 3
即当点 C 的坐标是(－1，
32
)时，三点 A，B，C 共线，故 y≠2 3.
|AC|
2
＝(－1－
1
3
)
2
＋(y－
2 3
3
)
2
＝
28
9
－
4 3y
3
＋y
2
，
|BC|
2
＝(3＋1)
2
＋(y＋2 3)
2
＝28＋4 3y＋y
2
|AB|
2
＝(
16
3
)
2
＝
256
9
①当|BC|
2
＞ |AC|
2
＋|AB|
2
，即 28＋4 3y＋y
2
＞
28
9
－
4 3y
3
＋y
2
＋
256
9
，即 y＞
2 3
9
时，∠CAB 为钝角.
② 当|AC|
2
＞|BC|
2
＋|AB|
2
，即
28
9
－
4 3y
3
＋y
2
＞28＋4 3y＋y
2
＋
256
9
，即 y＜－
10 3
3
时，∠CBA 为钝角.
③当|AB|
2
＞|AC|
2
＋|BC|
2
，即
256
9
＞
28
9
－
4 3y
3
＋y
2
＋28＋4 3y＋y
2
，即 y
2
＋
4 3y
3
＋
4
3
＜0，(y＋
2
3
)
2
＜0.
该不等式无解，所以∠ACB 不可能为钝角.
故当△ABC 为钝角三角形时，点 C 的纵坐标 y 的取值范围是 y＜－
10 3
3
或 y＞
2 3
9
(y≠2 3).
评析：本例主要考查直线、圆与抛物线的基本概念及位置关系，是解析几何中的存在性问题.需要提及的
是， 当△ABC 为钝角三角形时， 钝角的位置可能有三个，需要我们进行一一探讨.
问题探究型题型的的功能在于：
第一：有力地考查了学生的探究意识和探究能力.在三个维度的课程目标中，考察科学探究能力是体现
“过程与方法”目标最有力的手段.探究题型新颖， 特点鲜明，可从不同层次考查学生的探究能力.首先是
问题具有“层次性”， 解答题中都会设置多个小问题，每一个小问即为一个提示或暗示，前为后用，降低了
题目的难度，增强了题目的可探究性，既考查了学生的基础知识，又对学生的探究能力提出了进一步的要求，
还能有效区分不同学生的能力层次. 其次从结构上看，问题大多具有一定的“开放性”， 常常以“是否存在”
这种设问的形式出现，使得题目指向不明，缺乏目标性，具备可探究性.
第二：引领探究教学，培养学生良好的探究习惯 .偏重数学结论的应用而忽视数学知识的形成过程，
这是数学教学中长期存在的问题.教师的教学习惯直接影响学生的学习习惯，平时学生的学习交流大多限于
对答案，有的同学甚至不能独立思考，提出问题，导致教师重复讲解，重复练习和考试.在日常的教学中，
教师可以针对教学内容，把知识发生过程、法则形成过程、规律概括过程，设计为学生探究性学习过程，让
学生经历知识产生的过程，了解科学探究的方法，收获从事探究的体验和技能，提高自己的创造意识和能力.
参考文献：
[1]喻平. 数学教学心理学[M].北京师范大学出版社，2010，230—233.
[2] 厉小康.数学阅读能力的培养研究[J].数学教育学报， 2004， 13(2)： 89－92.
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[4]戴再平.开放题——数学教学的新模式[M].上海:华东师范大学出版社,2003.
(发表于《中学数学月刊》2012.3)
