章首课与核心素养
南京市金陵中学 张松年
zhsnpine@sina．com
章首语的意图
观察世界，数学思维；
提出问题，明确任务；
感知目标，预期发展．
CONTENT
目 录
拓展型章首课
建构型章首课
应用型章首课
一、拓展型章首课
案例1
一、拓展型章首课
核心素养
[0,＋∞)
[0,＋∞)
•为什么要用集合的语言来阐
述这三个问题的共同特点？
•为什么要引入一般的函数定
义和符号表示？
•你能从字面上谈谈为什么这
样的对应取名叫“函数”吗？
•你能谈谈对函数的对应关系
(法则)的理解吗？
数学本质
y＝4.9x
2
对应关系(法则)
集合A到B的对应关系是指：A中所有元素与B中元素对应方式的总称．
例如：设 A＝{0，1}，B＝R，此时，x→x＋1，
x→x
2
＋1，x→ x＋1，x→|x|＋1 貌似是 A 到
B 的四个不同的对应关系，实际上是同一个
对应关系，
但是，若 A＝{－1，0，1}，B＝R，则 x→x
2
＋1，x→|x|＋1 是 A 到 B 的同
一个对应关系，而 x→x＋1 是另一个对应关系，x→ x＋1 不是对应关系．
0
1
1
2
…
A
B
如右图所示：
集合A到B的对应关系与用什么语言、符号、式子描述没有关系，只与
集合A与B的元素的哪个跟哪个对应有关．
一、拓展型章首课
案例2
•客观现象，数学研究
•明确任务，寻找关系
•温故知新，拓展研究
•数形结合，交流辨析
•建构理论，数学应用
数学本质
一、拓展型章首课
案例3
一、拓展型章首课
•为什么要研究立体图形？
•构成立体图形的基本元素有哪些？
•你觉得应该研究立体图形的哪些内容？
•你觉得应该从哪几个方面研究立体图形
的基本元素之间的关系？如何研究？
核心素养
• 实际需要→提出问题
• 明确任务→探索研究
• 感知目标→主动建构
• 预期发展→数学应用
一、拓展型章首课
案例4
一、拓展型章首课
•离散函数
•有序排列
•如何研究
• 怎么想到钢管的？
• 怎么想到求和的？
• 怎么想到假设的？
案例2 观看队列训练视频，思考：能否用数列的观点来研究视频中的画面．
①
②
③
↓
↓
↓
问题1 对于这三个点阵，你能用数列的观点发现问题、提出问题吗？
追问：你会先研究哪一个点阵？为什么？
意图：1．用数学的眼光看问题，用数学的语言刻画问题(提升数学抽象、
直观想象的素养)；2．体验、感受到常数列求和最简单．
问题2 如何求这个区域的总人数？
意图：数学探究(体现直观想象、数学运算的素养)．
方案1
方案2
方案3
a
1
知识建构
1．等差数列{a
n
}的前 n 项和公式
S
n
＝
n(a
1
＋a
n
)
2
，
a
n
＝a
1
＋(n－1)d，
S
n
＝na
1
＋
n(n－1)
2
d．
本质：利用平均数
将不等的数化成相
等的数．
案例1 复数的引入
1.你能简述数系扩充的过程及引入的
符号吗？
2.为什么只要规定“－1的平方根”？
3.为什么要规定虚数单位“i”与实
数之间满足四则运算律？
• 函数、复数等章引言的共同特征：
• 内部需求→提出问题
• 明确任务→探索研究
• 感知目标→主动建构
• 预期发展→数学应用
二、建构型章首课
核心素养
案例2
二、建构型章首课
•客观现实，数学研究
•明确任务，数学表达
•温故知新，合作探究
•数形结合，交流辨析
•建构理论，数学应用
数学本质
山坡
水坝
屋顶
楼梯
甲 乙
山坡、水坝、屋顶、楼梯的倾斜程度，一般用坡度来刻画．
问：什么是坡度？
坡度＝
高度
宽度
．
高度
宽度
直线
以楼梯为例，坡度是相对于水平位置而言的．
例如，一般的住宅楼的楼梯，一节台阶的宽度（级宽）为30cm，
一节台阶的高度（级高）为15cm，求楼梯的坡度．
15
30
＝
1
2
．
直线
15cm
30cm
问题1 如图所示，对于直角坐标平面内过点A(2，1)和B(4，3)
的直线l，怎样刻画其方向？
O
A
B
x
y
l
3－1
4－2
＝1．
问题2 直线l的倾斜程度与直线l上点的选取有关系吗？为什么？
O
A
B
x
y
P
Q
问题3 如图所示，对于直角坐标平面内过点A(5，2) 和B(4，3)的直
线l'，怎样刻画其方向？
O
A
B
x
y
l'
3－2
5－4
＝1．
问题1 如图所示，对于直
角坐标平面内过点A(2，1)
和B(4，3)的直线l，怎样
刻画其方向？
O
A
B
x
y
l
3－1
4－2
＝1．
问题3 如图所示，对于直角坐
标平面内过点A(5，2) 和B(4，
3)的直线l'，怎样刻画其方向？
O
A
B
x
y
l'
3－2
4－5
＝－1．
y
2
－y
1
x
2
－x
1
一般地，设直线l上的两点为P
1
(x
1
，y
1
)，P
2
(x
2
，y
2
)，我们把
称为直线l的斜率(slope)，用字母k表示，即
O
P
2
x
y
l
P
1
k＝
y
2
－y
1
x
2
－x
1
．
三、应用型章首课
案例1
•客观现实，数学研究
•明确任务，数学表达
•数学解决，回归实际
•总结交流，升华思想
核心素养
三、应用型章首课
让学生经历了函数与方程的转化、
数学建模、数学应用的过程，有助于培
养学生“数学地”思考问题、分析问题、
解决问题的能力，促进学生形成对函数
的整体认识，体会数学学习的价值．
• 零点存在定理
• 几个模型比较
• 建模析模解模
核心素养
清楚
自然
简洁
数学 学生 教师
数学知识是清楚的 学生学习是清楚的 教学内容是清楚的
数学生成是自然的 学生思维是自然的 教学过程是自然的
教材表达是简洁的 学习过程是简洁的 教学活动是简洁的
结束语
追求数学的美学意义
谢谢！
