> 2 0 2 2
年
1
月（下旬）
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：
!"#$%&’()*+,-./0
数学教学通讯
基金项 目
：
南京市 教育科 学
“
十三五
”
规划
!"#$
年度立 项课 题
《
大数 据 分 析 背 景 下优 化 高中 数 学 教 与学 行 为 的实 践 研究
》（
%&!’($&
!)*
）；
南京市基础教育优秀教学成果培育项目
《
大数据分析视域下高中数学教学模式优化实践研究
》（
!’!’
年首批
）
+
作者简介
：
曹茂宏
（
(,$,
—） ，
硕士研究生
，
中学一级教师
，
主要从事数学教学工作
．
借助信息 技术，突出概念生成
——
—
“对数函数”的教学设计与反思
曹茂宏 从 品
江苏省南京市金陵中学
!(""""
［
摘 要
］
对数函数是高中要学习的第二个重要的基本初等函数
，
教与学的主要内容是引导学生学习这一新
的基本初等函数
，
并类比指数函数的学习经验
，
巩固研究函数的一般方法
．
信息技术教学辅助具有高
效
、
直观等优点
，
本节课在对数函数的教学设计中借助
--.
的优势
，
突出对数函数概念的生成
，
提升
学生对数学概念的理解
，
帮助学生发展数学学科核心素养
．
［
关键词
］
对数函数
；
--.
；
类比
!
普通高 中数学 课 程 标 准
"
!"#$
年版
#
!%!"
年修 订
$
在教 学
建议中明确提到
%&
重视信息技术运用
#
实现信息技术与数学课
程的深度融合
．
’
(
&
)
信息技术的广泛应用正 在对数学教 育 产 生 深
刻 影 响
．-/0-/123
"
下 文 简 称
&
--.
*+
是 一 款
,
长 于 展 示 教 与 学
对象的动态的数学软件
*#
其可以更直观地展示数学教学内容
#
更有效 地传 递 数学 教 学信 息
#
从而提 升学生 的想 象 力
#
积累 学
生在探究过程中的活动经验
#
进而辅助实现数学教学目标
#
解
决教与学的重难点
．
函数是高中数学的重要内容
#
高中函数要求学生会用集合
与对应的数学语言刻画函数
#
对于新入学的高一学生而言
#
很难
在短时间内接受并理解函数知识
"
尤其是对数函数
+#
学生缺乏
一定的经验基础和函数知识的高度抽象是其主要原因
#
同时也
造成了教师教学困难
．
笔者在对数函数的教学实践中
#
重视信息
技术的教学辅助
#
尝试引入
--.
#
形象直观地展示函数图像和几
何图形运动变化的过程
#
在提升学生对对数函数的理解上颇有
成效
#
期望为信息技术与函数教学的整合起到抛砖引玉的作用
．
襛
教学内容解析
文章引 用的教 材是
-
普通高 中课 程 标准 实 验教 科 书
.
数学
"
必修
&
+/"
苏教
!%!%
年版
+#
教学 内容 为
&
’()
对数 函 数
*
．
对数
函数是高中继研究指数函数后要研究的第二个 基 本初 等 函数
．
学习基 本初 等 函数
#
一方面 可以 加 深对 函 数概 念 的 理解
#
强化
研究 函数的 一般 方 法
0
另一方 面
#
基本初 等函 数 是常 见 且重 要
的函数模型
#
是学习其他函数的基础
#
与生活实践
1
科学研究也
有着 密 切 的 联 系
．
在学 习 对 数 函 数 之前 学 生 已 经 学 习 了 函 数
概念
1
函数的 单调 性 和奇 偶 性等 性质
#
尝试探 究了 指 数 函 数 的
图像和 性质
#
了解 了研究 函数 性 质的 一般方 法
#
理解 了对 数 概
念以及对数运算
#
这些都构成了学生的认知基础
．
教学中
#
一方
面利用研究指数函数所获得的经验
#
引导学生按照研究函数的
一般方法来类比研究对数函数
#
进一步强化研究函数的一般方
法
0
另一方面
#
加强与指数函数的联系
#
在知识的联系中学习新
知识
#
帮助他们形成知识结构
1
发展数学思维
1
提高认知能力
．
对数函 数概念 的建 立
1
图像的 绘画 以 及 基 本性 质 的 了 解
#
属于较抽象的概念性知识
#
有较 大的 理 解难 度
．
而
--.
能够准
确生动 地将对 数与 指 数的 抽象联 系以直 观形 象 的 方 式呈 现 在
学生面 前
#
可以激 发学生 的学习 兴趣
#
帮助学 生更 深 刻 地 理 解
学习 内 容
． --.
的动 态 变 化
#
能使 学 生 产 生 良 好 的 图 感
#
促 进
学生通过直观感受更深刻地理解概念形成的动态过程
．
> 课程教材教法
06
C MY K
2 0 2
2
年
1
月（下旬）
<
投稿
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：
!"#$%&’(
)*+,-./0
数学教学通讯
襛
学情分析
!
!
"
知识储
备
#
①
较扎实地掌
握了函数
概念
$
函数的单调性
和奇偶性等性质
%
②
理解了指数函数
的概念
$
图像及性质
%
③
学
习过对数
概念
$
对数运算
．
!
"
"
能力与方法储
备
#
经历过指数函数的研究
&
了解研究函
数的一般方法与步骤
&
且有一定的直观想象能力和数学抽象能
力
&
能够 迁移 到 对 数函 数 的 研 究 上
．
学习 过
指数
$
对数 的 关 系
&
会利用二者的联系类比研究对数函数
．
襛
教学目标设置
目标
!
#
①
通过具体的实例了解
对数函数概念
%
②
能用描点法
画出具体的对数函数的图像
&
通过观察图像归纳对数函数
的性质
．
目标
"
#
在对数 函数
概念构 建和 对 数函 数 性质 归 纳 的过 程
中
&
提高学 生的数 学观 察 能力 和数 学表达 能力
&
发展学 生 的 数
学抽象
$
直观想象以及逻辑推理等核心素养
．
目标
#
#
通过类比体会数
学各个内容之间的联系
&
尝试从已
有知识出发探索新知识
&
感受探索并获得新知识的成就
．
襛
教学重点和难点
!
!
"
教学重 点
#
建立对 数函 数
概念
&
画出 对 数 函 数 的图 像
&
探究对数函数的性质
$
!
"
"
教学难点
#
利
用对数函数与指数函数的关系
&
类比指数
函数的研究方法
&
研究对数函数的性质
．
襛
教学问题诊断
数学
问题的设置和情境引入中
&
旨在让学生根据指数函数
的学习 流程 来 研究 对 数函 数
&
即
’
列表
(
描点
(
画图
)&
强调 研
究函数的一般方法
．
但是学
生可能会直接利用指数函 数 的 图像
关于直线
%＝&
的对称图像来研究对数 函数
．
教师需 要反
复询问
研究指 数函 数 的 方 法
&
从而类 比研究 对数 函 数
&
最后需 要 引 导
学生体会研究函数的一般方法
．
襛
教学媒体设计
本节课 的媒 体 设
计
#
为了形 象生动 地阐 述 概念
&
教师 使 用
的是
GG
B
软件
%
为了提 高
课堂教 学 效 率
&
及时 方 便 展 示 学 生绘
图
&
教师使用的是希沃授课助手软件
．
襛
教学过程设计
*-
创设
情境
，
类比迁移
引例
!
#
某
细
胞分裂过程中
&
!
个细胞分裂成
"
个
&
"
个细胞分
裂成
’
个
&
’
个细胞 分裂 成
(
个
**
则细
胞的 个 数
%
与分 裂 次 数
&
的函数关系为
%＝"
&
!
&∈N
*
"
．
引例
"
#
一种放 射性 物 质
&
经过的 时 间
&
!
年
"
与物 质 残 留 量
的关系为
%＝)$(’
&
!
&∈N
*
"
．
问题
!
#
上面情境是
我们学习指数函数时的 例子
．
反之
&
引
例
!
中如果
已知细胞个数
%
&
如何确定分裂的次数
&
呢
+
引例
"
中
如果给定物质残留量
%
&
如何求时间
&
!
年
"+
即如何用
%
表示
&
呢
+
问题
"
#
这两个引例中
&
&
是关于
%
的函数吗
+
预先设 定
#,
知
%
求
&
)
属于 逆 问 题
&
学
生可 以 利 用 已 经 学过
的对数 的概念 和运 算 从算 式角度 表示
&
&
但从 函 数 定 义 角 度判
断
,
&
是否是关于
%
的函数
)
有一定的难度
．
设计
意图
：
借用学 习指数 函数 原 有且 熟 悉的 情 境
，
可以 将
学生迅速带入新知课堂
．
从具体到抽
象
，
借助于具体的案例
（
算
式
）
让学生进一步体会指数
、
对数之间的内在联系
，“
知
%
求
&
”
与
之前
“
知
&
求
%
”
产生了认知冲 突
$
二者既 有关联 又有 冲 突
，
可以
激发学生学习对数函数的好
奇心与兴趣
．
高一学
生缺乏一定的经
验基础和抽象概括能力
&
若让学生
直接从 函数的 代数 定 义上 辨析 问题
&
会存在 一定 的 难 度
&
故而
笔者尝试借助于
G
G
B
软件
&
从形的角度展示并辨析函数
的对应
关系
&
再回到严格的代数定义上
&
期望能帮助学生从数
-
形两个
角度理解对数函数概念
&
兼顾直观与严谨
．
1-
动
态
演示
，
生成概念
问题
#
#
一般地
&
若
%＝+
&
!
+＞,
&
且
+≠!
"&
那
么能 用
%
表示
&
吗
+
能否说
&
是关于
%
的函数呢
+
预先设定
#
问题
#
较抽象
&
学生从指数与对数
的关系及函数
定义的角度来辨析该问题有较大难度
&
所以尝试引导学生借助
于指数函数的图像来分析问题
．
通过
GG
B
软件作
出指数函数
%＝+
&
!
+＞,
&
且
+≠!
"
的图像
&
在
%
轴 正 半 轴 上 任 取 一 点
-
&
过 点
-
作
%
轴 的 垂 线
&
与 指 数 函 数
%＝+
&
!
+＞,
&
且
+≠!
"
的图像 相交 于 点
.
&
过点
.
作垂线 交
&
轴于点
/
!
如
图
!
所示
"
0
由作图过程可以看到
&
对
%
轴正半轴上的任意一点
-
图
*
> 课程教材教法
07
C MY K
> 2 0
2 2
年
1
月（下旬）
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：
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)*+,-./0
数学教学通讯
（
任意的
!
），
在
"
轴上都 有唯 一 的点
#
（
唯一的
"
）
与之 对 应
，
符合
函数的代数定义
．
此步引导学生
自主发现
，
尝试从形 上点的 对
应过渡 到数 上 点的 对 应
，
加深对 函数概 念的 理 解
，
生成 对 数 函
数概念
．
设
计
意图
：
传统教 学一般 从代 数 的角 度直 接 阐 述
“
对任 意
的
!
，
都 有 唯 一 的
"
与 之 对 应
”
，
较
抽 象
、
晦 涩
，
造 成 学 生 理 解 困
难
．
而站 在 已 有 的 指 数 函 数 的 基础 上
，
借 助
于
GGB
软 件 进 行 图
像展示
，
使得学 生能
更直观 地理解 函数 的对应 关系
，
帮助 学 生
从数
、
形两 个 角 度 理 解 函数 的 定 义
．
更 重 要 的 是
，
利 用
GGB
软
件中图 形的 动
态演示 功能
，
可以让 学生认 识到
，
当
$
变化 时
，
图
像上点的对应
关系依然满足函数的定义
，
推动学生认知从感性
走向理性
，
从表面
、
模糊的认识走向事物本质联系的理解
，
从特
殊的认识走向一般的归纳
．
定义
：
形如
!＝log
$
"
（
$＞%
，
且
&≠’
）
叫做对数函数
．
问题
(
：
类比指数函数的
学习
，
你准备如何研究对数函数
!＝
log
&
"
（
&＞%
，
&≠)
）
的性质
？
预先设 定
：
列表
—
描点
—
画图
，
通过 观 察 图 像归 纳 函 数
的
性质
．
设计
意图
：
联想指 数函 数 的学 习
，
类比 提出 对 数 函数 的 研
究方法
，
有利于 学生积 累研 究 一般 函数 的基 本 活 动经 验
，
培养
学生的类比迁移能力
．
学生完成具体的对数函数
（
如
!＝log
*
"
，
!＝
log
)
*
"
）
图像的绘画后
，
可以尝
试对对数函数的 性质进行合理猜
想
.
教师可以在
GGB
软件中同一 直 角坐 标 系
下
，
绘画 出 一般 对
数函 数
!＝log
$
"
（
$＞+
，
且
&≠)
）（
&
可以 变 化
）
的 图 像
，
通 过 动 态 演
示
，
引导学 生分析 并总 结 出对 数函数 的性 质
，
从个例 猜 想 走 向
一般归纳
．
对 数 函 数
!＝log
&
"
（
&＞%
，
且
&≠)
）
的 性 质
：
①
定 义 域 是
（
%
，
＋∞
）；
②
值域是
（
－∞
，
＋∞
）；
③
图像恒过定点
（
)
，
%
），
即当
"＝)
时
，
!＝%
；
④
若
%＜&＜)
，
则函数在区间
（
%
，
＋∞
）
上是减函数
；
若
&＞)
，
则
函数在区间
（
%
，
＋∞
）
上是增函数
,
,-
活动探究
，
加深
理解
学生活动
’
：
在绘画有
!＝log
*
"
图像的同一直角坐标系中
，
画
出
!＝*
"
的图像
．
预 先 设 定
：
预 先 发 下 坐 标 纸
，
学 生 描 点 画 图
，
从 形 的 角 度
猜想
!＝log
*
"
的图像与
!＝*
"
的图像关于直线
!＝"
对称
，
但难以说清
理由
．
在
!＝*
"
的图 像 上 任 取 一 点
-
（
"
+
，
!
+
），
作点
-
关 于 直 线
!＝"
的
对称点
-′
（
!
+
，
"
+
），
发 现 点
-′
（
!
+
，
"
+
）
在
!＝log
*
"
的 图 像 上
，
引 导学
生用点的对称来研究图像的对称
，
加深
学生对指数函数与对数
函数之间关系的理解
．
在
GGB
软件中
，
还可以绘画一般指数函
数
!＝&
"
（
&＞+
，
且
&≠’
）
与 一 般 对 数 函 数
!＝log
&
"
（
&＞+
，
&≠’
）
的 图
像
，
使
&
自发变化时可以动态演示
，
让学生观察到
这两个函数的
图像恒关于
!＝"
对称
,
通过这样从简单 到复 杂 的过 渡 让学
生对
同底的指数函数与对数函数的关系有了更深刻的认识
．
%
设计
意图
：
前面借 助于 图 像来 阐 述对 数函数
!＝log
&
"
（
&＞+
，
&≠’
）
的 数 与 形
的 对 应 关 系
，
帮 助 学 生 理 解 了 对 数 函 数 概 念
．
这里又 利用数 的准
确性
（
点与点 的对 称
）
来解释 指数 函 数 图 像
与对数函数图像的对称
，
让学生更好地理解图像直观背后的数
理逻 辑 和 代 数 准确
．
此
处数 形 结
合
，
以形 助 数
，
以数 解 形
，
兼顾
直观与准确
，
相互增益
，
颇为收效
．
接下来就是水到 渠成
，
引入
反函数概念
．
定义
：
函数
!＝&
"
（
&＞+
，
&≠’
）
与 函 数
!＝log
&
"
（
&＞+
，
&≠’
）
的 图
像关于直线
!＝"
对称
，
!＝&
"
称为
!＝log
&
"
的反函 数
，
反之
，
!＝log
&
"
称
为
!＝&
"
的反函数
，
即
!＝&
"
与
!＝log
&
"
互为反函数
．
学
生 活 动
*
：
在 同 一 直 角 坐 标 系 中
，
画 出 函 数
!＝log
’
*
"
，
!＝
log
’
.
"
，
!＝log
*
"
和
!＝log
(
"
的草图
．
学生 活 动
.
：
在同 一 直 角 坐 标 系中
，
比较 底 数
&
，
/
，
0
，
1
的 大
小关系
．
（
如图
.
所示
）
预先设定
：
活动
*
中
，
学生根据
!＝log
*
"
，
!2log
)
*
"
的 图 像 的 趋
势
，
可以类比
作出
!＝log
)
.
"
，
!＝log
(
"
的草图
；
活动
.
中
，
参数较 多
，
较抽象
，
具有一定的难度
．
设计
意图
：
传统教 学中
，
通常通 过绘 画 的 几 幅 静态 图 像 感
受底数 的变化 对 对 数函 数图像 的影 响
，
有较大 的难度
，
且很 难
体会变化的趋势
．
借助
于
GGB
软件的动态图像
优势
，
特别是跟
踪功能
，
能让学生直观地感受到对数函数的底数是如何影响对
数函数图像的
，
加深对对数函 数的图 像和 性 质的 理解
．
以
GGB
软件为平台创设灵动的数
学活动
情境
，
为学生理解数学构建条
件
，
由数据 可视 化 启发 学 生数 学思考
，
促进学 生走 向 数 学 深 处
和思维高处
．
图
1
> 课程教材教法
08
C MY K
2 0 2
2
年
1
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!"#$%&’(
)*+,-./0
数学教学通讯
1-
巩固与运用
例
!
试比
较下列各题中两个值的大小
．
"
!
#
!"#
"
#$%
与
!"#
"
&$’
$
%
"
&
!"#
($
#
!$&
与
!"#
)$
#
"$*
$
%
#
&
!"#
+
’
与
!"#
+
,．
2-
回顾总结
，
体会感
悟
%
!
&
这节课我们主要学习了哪些知
识
’
%
"
&
学习和研
究新函数的内容和一般方法是什么
’
襛
教学反思
*．
数学
教学必须重视概念教学
数学教学必须重视提出概念的必要性和概念发生
(
发展的
过程
)
要让学生参与其中
)
尝试探索并发现概念
)
概括概念的定
义
)
让学生 体会 概 念的 生 成过 程
)
有利于 深化学 生对 概 念的 理
解
．
利用问
题
*
若
-＝+
.
%
+＞)
)
且
+≠!
&)
那
么能用
-
表示
.
吗
’
能否说
.
是关于
-
的函数呢
’ +
让学
生借助于指数函数理解对数函数
)
这
是指数 函数概 念的 应 用 过 程
．
既然
.＝!"#
+
-
"
+＞)
)
+≠!
&
满足
.
是
关于
-
的函数
)
那么新的 函 数
-＝!"#
+
.
"
+＞)
)
+≠!
&
就生成了
．
由旧
知到新 知
)
应从简 单到综 合地 组
织内容
)
更应循 序渐 进 地 渗 透
和引入概念
,
"
-
．
3．
设计恰
当的数学情境
、
问题和活动利于数学教学
笔者充分挖掘教材
)
结合以往学生学习对数函数的困难
)
直
接利用学习指数函数的情境
)
设计恰当
.
准确的问题
)
让学生结
合
$
$
%
软件参与数
学活动
)
从而达 到学习 对数 函 数的 目的
．
数
学
课
堂的教 学情 境 是教 师为了 使学生 更好 地 理 解 抽象 的 数 学
知识
.
发展数学思维能力借助于教学内容的背景材料及知识本
身的可塑性而创设
．
它对调动学
生的求知欲望
)
引发探究动机
)
促进知识的保持和迁移都有好的作用
,
#
-
．
,． 445
软件的可
视化
、
动态优势有利于数学概念教学
对数函数的教学过程是比较适合使用信息技术的
)
因为对
数函 数
-＝!"#
+
.
%
+＞)
)
+≠!
&
的 图 像 会 随 着
+
的 变 化 而 变 化
)
如 果
仅
仅依靠 学生 画 图
.
凭借若 干特 殊 例子
)
不利于 归 纳 出 一 般的
结论
)
所以 此时 如 果加 入 信息 技 术
)
可以帮 助学生 清 晰 明 了 地
看到 对 数 函 数 不 同 的 图 像
．
教 学 过 程 中 笔 者 使 用 的 是
$$
%
软
件
)
其强大的动画功能可以加深
学生对对数函数图像的认识和
理解
． $
$
%
软件借
助于概念的直 观背 景
)
对抽象 概念 进 行可 视
化表征
)
用丰富的样例使概念获得
*
原型
+
支持
)
形成概念的
*
模
式直观
+)
从而加深数学概念的深刻理解
,
%
-
．
1．
技术融
合是开展深度教学的必然选择
深度教 学首 先 体现 的 是知 识内 容的 呈 现 要触 及 数 学 的 本
质
)
同时注 重知识 之间 横 向 或纵向 的联系
$
深度教 学其 次 要 激
发学生的数学学习热情
)
让学生从数学学习过程中获得朴素而
广泛
.
深厚而灵动 的数学 思想
)
其中有
%
个环 节
)
包括 联
系的 观
点
)
问题引 领
)
交流 和互 动
)
努力帮 助学生 学会 学 习
,
’
-
．
这样的
深
度教学 很难 被 传统 的
*
一支笔 一块 黑 板一 张嘴
+
的教 学 手 段
承载
)
于是运 用现 代 化技 术 手段
)
把现代 化技术 作 为 学 生 学习
和解决 数学 问题的 强有 力的工 具便 成 了数 学 深 度 教 学 的 必 然
选择
．
2．
数
、
形灵
活结合
，
兼顾直观与准确
，
兼顾技术与思考
华罗庚曾对数形结合有过精辟的论述
!*
数缺形时少直观
)
形少 数 时 难 入 微
．
+
数抽 象 而 形 式化
)
形具 体 而 形 象 化
)
数与 形
对应的思
维是分析思维与视觉化思维
)
这两种思维在数学中都
是必 需 的
．
在教 学
中
)
笔者 注 重 信 息 技 术的 使 用
)
让直 观 的 形
帮助学 生理解 数学
)
但不能 让图 形 代替 学 生数 学 思考
)
更多 还
是要让学生回归形式化的数
．
在发达的
信
息时代
)
更不能 让信
息技术完全取代学生的思维
)
比如学生的绘图能力不可偏废
)
必
要时需要学生自己去绘图
．
参考文献：
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中华 人 民 共 和 国 教 育 部
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普 通 高 中
数 学 课 程 标 准
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图
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> 课程教材教法
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