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概念教学：基于有效追问的教学探索
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王泽扬
(江苏省南京市金陵中学 210005)
数学课堂是思维的课堂，思维的发展需要有效碰撞．概念课是数学课中的重要组成部分，
概念课能否达成预期的教学目标，突出重点，突破难点，关键在概念的生成．概念的生成是
自然的，是流畅的。学生需要了解这个数学概念是什么，源自哪里；了解研究它有何意义和
作用；了解它的概念的内涵与外延；了解如何证明它的正确性、良定性、充要性．在课堂上，
学生是教学的主体，教师是主导，在知识建构的过程中，教师要引导学生，主动探索知识．要
使概念生成更加清晰、自然、逻辑通顺、条理清晰，需要教会学生如何追问．因此，概念的
生成离不开有效追问．
追问是在提问的基础上进行再次发问，目的是使学生正确、准确、深度理解知识，能够
解决问题。追问是对初次提问的补充、深入、拓展或修改。师生之间的有效追问，不仅能凸
显教师主导、学生主体的地位，还能有效开展学生活动和数学建构，在对话和沟通中，逐渐
明晰概念。
一、概念教学的有效预设
空间向量基本定理是苏教版选修 2-1 高中数学教科书第三章的 3.1.3 小节的内容。从地
位上看，空间向量基本定理在教科书的本章中的位置是至关重要的——它需要解决必要性、
合理性和严谨性共三个方面的问题，从而将概念生成得饱满而充实。从功能上看，它为下面
学习空间向量的坐标表示与坐标运算、用坐标的思想解决立体几何问题提供了理论支持。从
结构上看，它上接共线向量基本定理、共面向量定理，同时推广了平面向量基本定理，是数
学从低维到高维抽象的一个缩影。从功能上看，它将数学运算等核心素养孕育其中，能让学
生在空间向量这一个知识载体中，体会抽象而又伟大的数学世界的奥妙。
本节课教学之前，学生也已开始学习空间向量的有关内容。空间中，类比平面向量基本
定理，又会得到怎样的结论呢?它又有怎样的作用呢?学生带着这一问题中，不断探索数学知
识。
基于以上分析，本节课的教学日标确定如下:理解空间向量基本定理及其推论，知道空
间任意一个向量可以用不共面的三个已知向量线性表示，而且这种表示是唯的;在简单问题
中，会选择适当的基底来表示任一空间向量。
二、概念生成中有效追问的设计与实施
在竖直平面内，炮弹、喷出的水作抛体运动．
在物理中，我们利用矢量的分解，将炮弹、水珠在任一时刻的速度 v
→
，分解为水平和竖
直方向的分速度v
x
→
，v
y
→
来进行研究：
v
→
＝ v
x
→
＋v
y
→
．
问题 1 从数学的角度，哪一个定理与这个过程密切相关？
学生 A：说出平面向量基本定理及其内容(教师板书)．
之所以这个被称为平面向量基本定理，是因为对于平面内任意一个向量，都可以用这个
平面内任意两个不共线的向量来表示．
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本文发表于《全国优秀作文选·教师教育》2021(03)．
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教师：下面我们将这个问题推广到空间中．
设计意图 从现实情境出发，让学生感受之前学习过的平面向量基本定理与今天所学内
容之间的紧密联系，感受平面向量基本定理的必要性、合理性，同时渗透推广、类比的思想．
问题 2 如图，垒球、铁饼、标枪被投掷后在空间中产生了运动，飞机在天空中翱翔．类比前
面的方式，你会如何研究这些物体在空间中的任意位置的速度？
学生 B：将运动(速度)进行分解．
教师追问 如何分解？
学生 B：按三个方向进行分解．(叠加)
教师追问 很好，这位同学是这样的观点．哪位同学向发表自己对他的观点的看法？你觉得
可行吗？你有产生什么问题吗？
学生 C 向学生 B 追问：为什么是三个方向？两个方向够不够？
学生 B：不够．
学生 C：为什么？
教师补充 我们将其抽象成一个数学问题：
如图，点 P 是
□
ABCD 所在平面外一点，能否用 AB
→
，AD
→
线性表示AP
→
？为什么？
学生 D：不能．用反证法．若能，即AP
→
＝xAB
→
＋yAD
→
．则由共面向量定理知，AP
→
与 AB
→
，
AD
→
共面，且有公共起点 A，所以 A，B，D，P 四点共面，这与点 P 在平面 ABCD 外矛
盾．故假设不成立．
教师追问 三个方向一定行吗？还有同学想到了新的问题吗？
学生 E：三个什么样的方向？
学生 F：三个不共面的方向！
教师追问 很好！如何将其抽象成数学问题？
学生 G：对于空间中的任一向量，能否用三个不共面的向量线性表示？
教师追问 再看上面的引例．如何用三个不共面的向量表示 AP
→
？
学生 H：将AP
→
拉回到平面 ABCD 内(降维)，比如取平面内的一
个向量 AE
→
，使得 AP
→
＝ AE
→
＋ EP
→
．而 AE
→
能用平面内不共线
的两个向量(例如 AB
→
，AD
→
)线性表示，这就解决了问题．
在平面内，之所以我们能将平面内的任意向量，用这个平面内两个不共线的向量线性表
示，是因为有平面向量基本定理．
C
D
B
A
P
E
C
D
B
A
P
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设计意图 从生活和物理中，表明在实际生活里，在空间中，始终存在着用任意三个不
共面的向量，表示任意一个向量的必要性，在此基础上，体会抽象、类比、数形结合的数学
思想．通过师生之间的追问，引导学生思考和发问的方向，而具体而细致的追问，留给学生
进行．这让学生活动落在了实处，让学生们主动参与到了课堂中来，能从同伴身上学习质疑、
思考的精神，发展一般性的发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的能力．
三、设计反思与感悟
概念教学需要渗透数学核心素养。在概念生成的过程中，提出问题、分析问题、解决问
题的火花，来源于数学核心素养，来源于数学思想方法，来源于日积月累。我们可以大胆放
手，让学生自己去提出一个个问题，进而研究解决，掌握空间向量基本定理的内容，达成教
学目标。
概念教学需要有效追问。影响学生高层次数学思维的两个关键因素是开发需要高层次数
学思维的各种数学探究任务以及试试这些任务的有效教学策略。有效追问正是一个在概念教
学中的落实数学探究任务的有效教学策略。因此，在数学课堂上，教师要引导学生不断追问，
自己动手，提出为解决该问题的若干小问题，不断完善外延，生成概念。
概念教学要充分发挥学生的能动性。每个学生都是未加装饰的璞玉，都是一个个鲜活的、
拥有独立视角与思维能力的个体，因此在概念教学中，教师要敢于放手，不怕浪费课堂时间，
不怕试错，要让学生努力尝试去提出问题、解决问题，让学生不断追问，真正落实以学生为
主体、教师为主导的教学观，这样才有助于培养学生的探索精神与求知欲望，有利于学生的
创新思维与理性思维的形成。