1
概念教学因学生的参与而灵动
——《任意角的三角函数》教学实录与反思
张松年（南京市金陵中学 210005）
作者简介：张松年，江苏高淳人，1987 年 7 月毕业于南京师范大学，在南京市
金陵中学执教至今．2012 年被评为江苏省数学特级教师，2012 年获“斯霞奖”，
2014 年被评为中学正高级教师，2002 年参与《普通高中实验教科书·数学》
的编写工作．在省级以上刊物发表文章三十余篇，多篇文章被中国人民大学书
报资料中心《高中数学教与学》全文刊载．在教学实践中，始终坚持“理性、
灵动”的教学理念，逐渐形成了“多思、多问、严谨、求实”的教学风格．
1 基本情况
1.1 授课对象
授课班级是一所国家级示范高中的平行班，学生的基础较好，有一定的自学能力、推理能力及
运算能力．经过必修 1 的学习，已经基本适应高中的数学学习，提出问题、发现问题、分析问题和
研究问题的能力以及数学阅读和数学交流的能力都有了较大的提高．
1.2 教材分析
所用教材为《普通高中课程标准实验教科书·数学（必修 4）》（苏教版），本节课是教科书第 1
章第 1.2 节“任意角的三角函数”的中第 1.2.1 小节的内容，它是函数知识的发展，是直角三角形中
三角函数的延伸，是刻画周期性现象的重要模型，也是后续学习其他数学知识和相关学科知识的基
础．教学中要引导学生从特殊到一般，利用概念的外延的扩大，体会概念学习的重要方式——概念
的同化，领悟数形结合、化归与转化、特殊与一般等思想方法，为理解同角三角函数值之间的关系，
研究三角函数的性质打好基础，发展学生的辩证思维能力和运算能力．
教学目标：
（1）理解任意角的正弦、余弦、正切的定义，会根据角终边上一点的坐标求该角的正弦、余弦、
正切值；
（2）会根据角的三角函数值的意义，判断正弦、余弦、正切函数的定义域以及函数值的符号与
角的关系；
（3）体会特殊到一般的辩证思维过程，培养认识问题、分析问题的能力和数学概念产生的合理
性、知识系统的和谐性．
教学重点：引导学生通过自主探索和合作讨论，形成任意角的正弦、余弦、正切的定义．
教学难点：理解角 α 与其终边上任意一点的坐标以及该点到原点的距离所确定的三个比值之间
的对应是函数关系．
2 教学过程
2.1 创设情境，提出问题
师：前面几节课我们学习了“任意角”和“弧度制”的有关知识，请同学们回忆一下有关内容．（停
顿片刻）下面我提几个问题，分别请同学来谈谈认识，其他同学也可以发表你的观点．
师：角的概念是怎么推广的？
生 1：角可以看成平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．按
逆时针方向旋转形成的角叫做正角，按顺时针方向旋转形成的角叫做负角，如果一条射线不作任何
旋转，称它形成了零角．（教师用眼神和表情征求全班意见，大家肯定）
师：是的．“弧度制”的引入，为我们研究角带来了怎样的便利？
生 2：可以用线段的长来刻画角，用实数来表示一个角的大小．（大家肯定）
师：在平面直角坐标系中研究角，有哪些规定？
生 3：角的顶点与坐标原点重合，角的始边与横轴的非负半轴重合，角的终边在第几象限，就说
这个角是第几象限的角．（大家肯定）
2
师：在平面直角坐标系 xOy 中研究角，角 α 与其终边是什么对应关系？
生 4：角 α 确定，其终边也确定；但角 α 的终边确定，角 α 不确定，这样的角 α 有无数多个，
其中的任意两个相差 360°（或 2）的整数倍．（大家肯定．教师口述并板书：α 定→终边确定）
师：有没有其他的方法来确定角 α 的终边？（大家讨论）
生 5：因为角 α 的终边是一条原点为端点的射线，所以只要确定一个异于原点的点，就可以确定
一条这样的射线．（教师征询，大家肯定）
师：这样的点唯一吗？（生：不唯一）这样的点有什么关系？（生：与原点共线）仅仅是共线
吗？（生：在原点的同侧）
师：这样，角 α 的终边由 α 的大小确定，也可以由角 α 终边上的一点确定．例如，对于大小为
π
4
的角，你能指出其终边以及可以确定终边的点吗？
生：（齐声）第一象限平分线，（纷纭）可以由点 P（1，1）确定，可以由点 Q（2，2）等确定．
师：这是不是提示我们：
π
4
与点 P，Q 等有关系？（生：是的）那么这是一种什么关系呢？
生（部分）：应该是 α 的大小与点 P，Q 等的坐标之间的关系．
师：是的，平面直角坐标系的建立，就是搭建了研究几何对象之间数量关系的平台．我们先来
研究 α 的大小与 P 的坐标（1，1）之间的关系．哪位同学来谈谈你的想法？
2.2 合作交流，生成概念
生 6：过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，（教师板书，画图 1）
因为点 P 的坐标为（1，1），所以 OM＝1，MP＝1．
在 Rt△POM 中，有 OP＝ OM
2
＋MP
2
＝ 1
2
＋1
2
＝ 2，
所以 sin∠POM＝
MP
OP
＝
1
2
＝
2
2
，即 sin
π
4
＝
2
2
．
师：这位同学通过构造直角三角形，借助直角三角形中锐角的正弦值给出了 sin
4
的意义．大家
想想看，如果选择用点 Q 的坐标来求 sin
4
的值，结果会怎样？为什么？
生（齐声）：结果不变！这可以由相似三角形的性质得到．（教师画图 2）
师：这就说明，sin
4
的值与角
4
的终边上的点的选择无关．
师：在初中，我们还学习过锐角的余弦和正切，那么，你能求
4
的余弦和正切吗？
生（齐声）：能，在 Rt△POM 中，（教师板书）
因为 cos∠POM＝
OM
OP
＝
1
2
＝
2
2
，tan
4
＝
MP
OM
＝
1
1
＝1，
所以 cos
4
＝
2
2
，tan
4
＝1．
师：我们是不是可以认为，当 α 是锐角时，可以定义 α 的正弦、余弦、正切与 α 的终边上异于
原点的任意一点 P 的坐标（x，y）之间的关系？（生：是的）你能写出来吗？（学生口述，教师画
图 3，板书）
sinα＝
y
x
2
＋y
2
，cosα＝
x
x
2
＋y
2
，tanα＝
y
x
．
师：为了方便起见，记 r＝ x
2
＋y
2
，则 r＞0，上面的关系可写成
sinα＝
y
r
，cosα＝
x
r
，tanα＝
y
x
．（板书）
y
P
x
M
4
O
图 1
y
P
x
α
M
O
图 3
y
P
Q
x
M
图 2
O
N
4
3
师：显然，当锐角 α 确定时，这三个值与角 α 终边上异于原点的点 P 的选择无关．那么，当 α
不是锐角时，我们该如何定义 α 的大小与 α 终边上异于原点的点 P 的坐标之间的关系呢？（稍停片
刻）我们知道，当 α 是第一象限的角时，必定有一个锐角与其终边是相同的，这时我们该怎么定义
α 的大小与 α 终边上异于原点的点 P 的坐标之间的关系才合理呢？
生（部分）：仍然是 sinα＝
y
r
，cosα＝
x
r
，tanα＝
y
x
．
师：你能说说这样定义的合理性吗？
生 7：第一象限角比锐角的范围大，锐角只是其中的一部分．针对全体的定义不能与针对局部的
定义相矛盾．
师：那么，当 α 不是第一象限的角时，我们该如何定义 α 的大小与 α 终边上异于原点的点 P 的
坐标之间的关系呢？
生（部分，不假思索）：仍然是 sinα＝
y
r
，cosα＝
x
r
，tanα＝
y
x
．
师：有不同想法的么？有补充的么？（停顿，学生思考、讨论）说说你的理由．
生 8：会不会是 sinα＝
|y|
r
，cosα＝
|x|
r
，tanα＝
|y|
|x|
？理由是：过 P 作 x 轴的垂线，垂足为 M，则在
Rt△OMP 中，OM＝|x|，MP＝|y|，OP＝r＝ x
2
＋y
2
．
生 9：这样不好，因为如果这样的话，其他象限的角的正弦、余弦和正切和第一象限的角的正弦、
余弦和正切就没有区别了，就没有多大意义了．
师：同学们想想看，他的观点有没有道理？（一些学生点头、应声）．是啊，尽管这位同学的用
词不那么准确，表达得也不够清楚，但是，我认为他的想法是有道理的．角的终边上的点的坐标有
正负性，反映了点在坐标系中的方位，从而反映了角的终边的位置．作为角的正弦、余弦、正切，也
应该反映角的位置特征，而前一种形式正是能做到这一点．在历史上，数学家就是用前面一种形式
来定义角的正弦、余弦和正切的．
生 10：好像还要加上 r＞0，x≠0，y≠0，否则，不能构成三角形，分式也可能没有意义．
师：有道理，我们可以舍弃三角形，直接定义这样的三个比值分别是 α 的正弦、余弦和正切．
（板书）一般地，在平面直角坐标系 xOy 中，角 α 的终边上异于原点的任意一点的坐标是（x，
y），它与原点的距离是 r（其中 r＝ x
2
＋y
2
＞0）．规定：
比值
y
r
叫做角 α 的正弦（sine），记作 sinα，即 sinα＝
y
r
；
比值
x
r
叫做角 α 的余弦（cosine），记作 cosα，即 cosα＝
x
r
；
比值
y
x
叫做角 α 的正切（tangent），记作 tanα，即 tanα＝
y
x
．
2.3 问题探究，完善概念
师：大家想想看，这样定义的 sinα，cosα，tanα 与 α 是怎样的对应关系？说说理由．（停顿片刻）
生 11：是函数关系．理由是：这样的三个比值与 α 有关，当 α 确定时，这三个比值也确定．（师：
为什么？）因为根据相似三角形，这三个比值的绝对值与 α 终边上点的选取没有关系，而且 α 终边
上点的横坐标是同号的，纵坐标也是同号的，所以这三个比值也是确定的．
生 12：我觉得好像有点问题．（师：你说说看，有什么问题）我觉得是映射关系，因为函数是数
与数的对应，而角是一个图形，比值是一个数，这是图形与数之间的对应，不应该是函数关系，而
应该是映射关系．（师：大家怎么看他提出的问题？）
生 13：在这里角 α 不是图形，而是一个角的大小，是数，所以，这三种对应是函数关系．
师：正像这位同学说的，我们分别把 sinα，cosα，tanα 称为 α 的正弦函数、余弦函数、正切函数
（教师边说边在相应的函数符号后面写上文字），统称为 α 的三角函数．这里的“sin”“ cos”“tan”
4
相当于我们在必修 1 中学习函数时的对应法则“f”，是三个特殊的对应法则．同学们能结合今天的学
习过程，谈谈这三个函数的定义域吗？（教师给出表格如左，让学生填空如右）
三角函数
定义域
三角函数
定义域
sinα
sinα
R
cosα
cosα
R
tanα
tanα
{α|α∈R，α≠kπ＋
2
，k∈Z}
师：我们可以结合三角函数的定义和 α 的终边来确定三角函数的定义域．因为 P（x，y）是 α 的
终边上异于原点的任意一点，所以 r＝ x
2
＋y
2
＞0，所以 sinα＝
y
r
，cosα＝
x
r
始终有意义，而要 tanα＝
y
x
有意义，必须 x≠0，即 P 不在 y 轴上，也就是 α 的终边不能是 y 轴，即 α≠kπ＋
2
，其中 k∈Z．总
之，正弦、余弦、正切都是以角的大小为自变量，以比值为函数值的函数，分别如图 4（1）（ 2）（ 3）
所示．
2.4 数学应用，升华理解
例 1 在平面直角坐标系 xOy 中，已知角 α 的终边经过点 P（2，－3），求 sinα，cosα，tanα 的
值．
解 （略）
师：根据例 1，你能总结出“求一个角的三角函数值”的一般步骤吗？
生 14：第一步：取角的终边上的一点，写出其坐标（x，y）；
第二步：求出该点到坐标原点的距离 r＝ x
2
＋y
2
；
第三步：求出三个比值 sinα＝
y
r
，cosα＝
x
r
，tanα＝
y
x
．
师：通过例 1 的解答，你还发现了什么？你能指出一般性的规律吗？（停顿片刻）
生 15：发现三角函数值的符号与角所在的象限有关．
对于角 α，设其终边上任意一点 P 的坐标是（x，y），它与原点的距离 r＝ x
2
＋y
2
＞0．
（1）sinα＝
y
r
的符号由 y 的符号确定：
当 y＞0 时，sinα＞0，所以 α 是第一、第二象限角时，sinα＞0；
当 y＜0 时，sinα＜0，所以 α 是第三、第四象限角时，sinα＜0；
（2）cosα＝
x
r
的符号由 x 的符号确定：
当 x＞0 时，cosα＞0，所以 α 是第一、第四象限角时，cosα＞0；
当 x＜0 时，cosα＜0，所以 α 是第二、第三象限角时，cosα＜0；
（3）tanα＝
y
x
的符号由 x，y 的符号确定：
当 x，y 同号时，tanα＞0，所以 α 是第一、第三象限角时，tanα＞0；
当 x，y 异号时，tanα＜0，所以 α 是第二、第四象限角时，tanα＜0．
师：他讲的对不对？（部分学生：不完全对）你有什么补充的？
…
sin
…
α
y
r
cos
…
…
α
x
r
tan
y
x
…
…
α
（1）
图 4
（2）
（3）
5
生 16：当 y＞0 时，sinα＞0，此时 α 的终边在 x 轴的上方，所以 α 不仅仅是第一、第二象限角，
还可能是终边在 y 轴的正半轴上的角；同样，当 y＜0 时，sinα＜0，此时 α 的终边在 x 轴下方，所以
α 不仅仅是第三、第四象限角，还可能是终边在 y 轴的负半轴上的角．另外，当 y＝0，即 α 的终边
在 x 轴上时，sinα＝0．对于 cosα，还应加上当 α 的终边在 x 轴的正半轴上时，cosα＞0；当 α 的终边
在 x 轴的负半轴上时，cosα＜0；当 α 的终边在 y 轴上时，cosα＝0．对于 tanα，还应加上当 α 的终边
在 x 轴上时，tanα＝0；
师：大家觉得她补充的怎样？（学生众说纷纭，有的说行；有的说只要补充等于零的情况；有
的说前一位同学的结论也没有错，他又没有反过来说）
师：一个角的正弦、余弦、正切值的符号与角所在象限的关系，可分别用下列三个图表示．（教
师画图 4）
例 2 确定下列三角函数值的符号：
（1）sin
13π
12
；（2）cos
14π
3
；（3）tan（－
24π
7
）；（4）sin1160
o
．
解 （略）．
师：根据例 2，你能总结出“判断角的三角函数值符号”的一般步骤吗？
生 17：第一步：判断角所在的象限（终边的位置）；
第二步：确定角 α 的终边上点的横坐标、纵坐标的符号；
第三步：纵坐标的符号就是正弦值的符号，横坐标的符号就是余弦值的符号．若 横坐标、
纵坐标的符号相同，则正弦值的符号为正；若横坐标、纵坐标的符号相反，则正弦值的符号为
负．
练习 请完成下列表格：
α
0
6
4
3
2
2
3
3
4
5
6
7
6
5
4
4
3
3
2
5
3
7
4
错误!
2
sinα
cosα
tanα
练习：教材 P
15
：1，3．
2.5 课堂回顾，总结提高
今天我们学习了任意角的三角函数的概念，请大家回顾并思考：
1．任意角的三角函数是怎么定义的？（略）
2．我们所学的几个三角函数的定义域分别是什么？这些函数值的符号怎么确定？怎样结合定义
来理解这两个问题？（略）
3．请同学们课后思考：今天学习的三角函数与初中学习的三角函数有什么区别和联系？你觉得
还有其他类似的“三角函数”吗？
2.6 布置作业，巩固发展（略）
3 回顾与反思
3.1 教学设计的立意
遵循“最近发展区”的原则，简要复习本章前面学习的内容，重点突出“角的概念的推广”，为
学生探究角与终边乃至终边上点的坐标之间的关系指引方向；回忆锐角的三角函数引出了研究任意
O
x
y
sinα
＋
＋
－
－
图 4
O
x
y
cosα
＋
－
－
＋
O
x
y
tanα
＋
－
＋
－
批注 [c1]: 颜色？
6
角的三角函数的必要性，并为这样的研究提供了可能，是组织学生自主探索、合作交流的基础．让
学生在探究活动中，充分发挥学生学习的主动性，体会类比拓展的方法，领悟数学刻画的准确性，
发展学生的思维．两道例题是课本上的，主要是示范根据三角函数的定义求值，总结出求三角函数
值的算法，并为发现三角函数值的符号与角的关系做铺垫．设置的练习的目的是让学生模仿例题求
特殊角的三角函数值，并为即将学习的三角函数线、周期性、诱导公式做准备，使不同的学生在数
学上得到不同的发展，提高教学的针对性和有效性．
3.2 教学反思
1．要有明确的教学目标和内容
本节课的教学目标是：“理解任意角的三角函数的定义，会根据角终边上一点的坐标求该角的三
角函数值”，因此，本节课以“确定角的终边”为载体，以“锐角的三角函数”为切入点，研究“角
与终边上点的坐标之间的关系”，力求贴近学生现有的知识储备，背景简洁，便于学生展开探究、尝
试等学习活动，旨在发现“角的大小确定→角的终边确定→终边上点的坐标的几个比值确定”这一
逻辑关系，其中比较隐蔽的是“终边上点的坐标的几个比值确定”，这可从下面两个方面来说明：①
终边上的点在原点的同侧，坐标的符号不变；②根据相似三角形，坐标比的绝对值不变．这是学生
不难理解的．
2．要有亲和的问题情境
首先，用“大小确定的角的终边也确定”“ 角的终边也可以由终边上的一点来确定”作为情境引
入“角与终边上点的坐标之间的关系”，体现了研究的必要性；从“锐角的三角函数”入手，体现了
研究的可行性．“锐角的三角函数”是学生很熟悉的内容，印象很深，能让他们很快进入探索的状态，
构造“直角三角形”作为研究的载体，为进一步一般化埋下伏笔．
其次，通过“锐角的三角函数与终边上点的选择无关”真正落实了“函数”的意义，尽管还有一
些同学仍然停留在“角是一个图形”的层面，只有初步的“对应”或“映射”的意识，但这也是一个
质的飞跃了．
再次，每个例题既是上一个教学段的重现或模仿与应用，也是下一个教学段的引子，同学们在
一个个情境问题的引导下，学习起来就会轻松、有序．
2．要重视知识生成的教学过程
教学实际表明，学生对研究任意角的三角函数还是感觉有些突兀的．学生学习三角函数的一个
难点是：学生对任意角的概念的理解还不到位，很多人还停留在“形”的认识上，还没有在真正意
义上从“数”的角度去理解．“角的终边”“ 点”“ 角所在的象限”等语句，显示的都是“形”，这些都
影响了学生对“角”的“数”的特征的理解．
严格地说，初中学习的三角函数不是函数，它只是一个记号，本质是表示直角三角形中两边长
的比，这两边对于该三角形中的一个锐角而言有特定的关系（对边、邻边、斜边），根据关系的不同，
取了不同的记号，而且这个锐角是一个图形．即使概念拓展了，也是对作为形的“角”的所处的不
同状态，赋予不同记号的拓展意义，也上升不到“函数”的层面，充其量是一个映射．而我们现在学
的锐角三角函数是以数（锐角的大小，取值范围是区间（0，
π
2
）） 为自变量、对应法则是与某个比值
（构造直角三角形得到的边长的比值）相对应的函数．
也正是因为锐角的三角函数离不开直角三角形，才导致一部分学生还不能清楚地认识到“锐角
三角函数值只与角有关”，甚至没有意识到它就是函数（变化过程中变量之间的对应关系）．例如，
学生 6 由 sin∠POM＝
2
2
，得到 sin
π
4
＝
2
2
，更多的是一种无意识行为．因此，在教学中，在任意角
的概念引领下，提出问题“
π
4
与点 P（1，1）的关系”，就是突出了“数
π
4
与作为点的坐标的数组（1，
1）的关系”，引导学生在自主探索或合作交流中展开思维的翅膀，紧扣新旧知识的联系和掌握的数
学思想方法去探究．教师可在巡视的同时，给予必要的点拨、引领，帮助学生在概念生成过程中了
7
解新旧知识之间的联系，体会角的终边上点的坐标与角的关系，在知识生成过程中逐步学会思考．
4．要有熟悉的学习模式
依托新旧知识间的联系，采用“数学情境→提出问题→解决问题→生成问题→类比模仿→意义
建构→建立数学→数学应用→回顾反思”这一熟悉的学习模式．
历史上，数学知识的产生，有的是实际生活的需要，有的是数学内部发展的需要，但不管源泉
是什么，都经过了长期实践的反复抽象和概括才建立起来，因此，在实际教学中，不可能也没有必
要重现这些知识的发展过程，只要涉及合适的情境，让学生体验知识产生的必要性和可行性就行
了．找一个什么样的讨论话题，教师要根据学情的发展，尊重主体的选择．本节课除了上面的引入
方式外，还可以从如下的几个方面考虑情境的设计：
（1）在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 可以用“终边过 P 的角 α 和 P 到原点 O 的距离 r”来确
定，也可以用“P 的坐标（x，y）”来确定，那么数组（α，r）和（x，y）之间是什么关系？
（2）在转动的摩天轮上，某个太空舱的位置有哪些刻画方式？
要注意的是，情境、载体都不能过于复杂，否则会冲淡主题而不能突出教学的重点．数学教学
的特点之一就是缩短、简化事实产生发展的过程，这就要求教学设计必须简单，应将重点放在“生
成新问题”和“建立新理论”上．
5．要尊重学生的个性差异
对生活现象的观察、总结、抽象、概括，由于原有知识基础、思维习惯、语言表达能力以及思维
切入点的不同，不同人的认识也是有差异的，因此，在教学中，只有承认差异，因人而异，创造宽松
的、民主的课堂气氛，尽可能让每一位学生都能有效地参与课堂教学，让更多的学生自主发表自己
的见解．教师应尊重学生的观点，让学生在对话、交流、聆听中获得知识，升华认识，增长见识，提
升能力，激发智慧．在课堂训练时，要让学生根据自己的学习情况，有选择地做力所能及的题，提
高训练的针对性、有效性，循序渐进．
参考文献
[1] 中华人民共和国教育部制订．普通高中数学课程标准（实验）．北京：人民教育出版社，2003．
[2] 单墫．普通高中课程标准实验教科书《数学》（必修 4）．南京：江苏凤凰教育出版社，2012．
2018.02 发表在《中学数学月刊》
