用思考去感觉
——一谈解题策略
南京市金陵中学张松年
Email：zhsnpine@sina.com
解题分析
1．解题分析的宏观认识．
2．解题分析的微观计划．
1．解题分析的宏观认识
紧紧围绕四个“？”，即
“要干吗？怎么干？有什么？能干吗？”
“从无到有”地寻找思路的一般方式：
“要解”→模型→“怎解”
与 “已有”→探索→“能得”
如何入手分析？
解题分析模式：
问题目标——寻找思路——找突破口
寻找解题思路？
如何理解题意？
关系？
要干嘛？怎么干？
有什么？能干嘛？
解题分析的模型基础
1．有关函数性质的认识——画图、333、单调性．
2．求函数最值的基本方法——单调性与基本不等式．
(1)用导数——f'(x)，x∈D→对x分类，f'(x)＜＝＞0；
(2)均值不等式、形式化特征．
3．线面关系——5352，4．
4．函数值域——逻辑等价．
5．方程的解——零点存在定理、对应关系．
6．解三角形——正弦定理与余弦定理．
7．数列问题——基本量、和与项的关系．
8．解析几何——平面几何、函数与方程、向量关系．
9．量词命题——全称特殊化、特称一般化．
10．基底意识——形式化、线性组合、次数平衡．
……………
2．解题分析的微观计划
•这是一个什么问题？ ——范畴
•它要求(证)的是什么？——目标、逻辑结构
•一般应该怎么做？有哪些工具？——模型、法则
•现有哪些材料？——条件、模型
•利用这些材料能得到什么？——条件、工具的作用
•还缺少什么材料？——其他工具
•能否从现有的材料和工具中找到？——隐藏的条件
•是否还有条件没有利用？如何利用？——概念内涵
•这些材料(原有的、发现的)和结论有什么关系？
——联想、类比、因果、特殊与一般
什么题——三角问题．
要干嘛——求角的值．
怎么干——求角的一个三角函数值及角所在的范围．
怎么干——利用三角形的内角和为π、诱导公式、
和角公式、同角三角函数值的关系．
有什么——已知A，B的正弦值．
能干嘛——能求A，B的余弦值，关键是确定符号．
怎么干——判断A，B是锐角还是钝角．
有什么——A是锐角，sinA＞sinB．
能干嘛——根据正弦定理，大正弦即大边．
怎么干——大边对大角，利用函数的单调性，反证法．
例 1 在△ABC 中，若 sinA＝
5
5
，sinB＝
10
10
，A 为锐角，
求角 C 的值．
解 因为 sinA＝
5
5
，sinB＝
10
10
，且 A 为锐角，
所以 B 为锐角，否则，若 B 为钝角，则由 0＜A＜
π－B＜
π
2
，得 sinA＜sinB，与
5
5
＞
10
10
矛盾．
所以 cosA＝
2 5
5
，cosB＝
3 10
10
．
所以 cos(A＋B)＝cosAcosB－sinAsinB＝
2
2
．
所以 A＋B＝
π
4
，即 C＝
3π
4
．
例2 如图所示，四棱锥P－ABCD中，
PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝
60°，AB＝BC＝AC，E，F分别是
线段PD，ED的中点．求证：CF∥
平面ABE．
C
F
E
A
B
D
P
要干嘛——证明CF∥平面ABE；
怎么干——在平面ABE内找一条CF的平行线；
怎么干——面面平行的性质定理；
怎么干——过CF的平面与平面ABE的交线；
有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．
能干嘛——……，
思路1 过CF，BC的平面BCF．
G
C
F
E
A
B
D
P
怎么干——过CF的平面与平面ABE的交线．
要干嘛——证明：BG//CF．
怎么干——证明：四边形BCFG是平行四边形．
有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．
能干嘛——
要干嘛——
有什么——∠DAC＝ ∠BCA ＝60°．
G 是 AE 的中点，FG
＝
∥
1
2
AD；
△ABC 是正三角形；
Rt△ACD 中，AD＝2AC；
证明：BC
＝
∥
1
2
AD．
思路2 过CF，CD(PD)的平面CDE．
H
C
F
E
A
B
D
P
怎么干——过CF的平面与平面ABE的交线．
要干嘛——证明FC//EH．
有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．
能干嘛——
要干嘛——证明C是HD的中点．
有什么——∠DAC＝ ∠BCA ＝60°．
能干嘛——BC//AD．
G 是 AE 的中点，FG
＝
∥
1
2
AD；
△ABC 是正三角形；
Rt△ACD 中，AD＝2AC；
C
F
E
A
B
D
P
思路3 过CF构造与平面CDE平行的平面．
K
还能怎么干——过CF的平面与平面ABE不相交．
要干嘛——取AD的中点K，证明：平面FKC//EAB．
有什么——PA⊥面ABCD，AC⊥CD，∠DAC＝60°，
AB＝BC＝AC，E，F分别是PD，ED的中点．
能干嘛——
要干嘛——证明CK∥AD．
怎么干——证明四边形ABCK是平行四边形．
怎么干——证明BC∥AK．
有什么——∠DAC＝ ∠BCA ＝60°．
能干嘛——BC//AD．
FK∥AE；AK＝AC＝BC；
思维操作的策略：线面平行的性质和面
面平行的性质为证明线面平行指明了方
向(问题中的启发性提示语)．
一、数形结合与代数论证
例1 若关于x的二次方程x
2
－4x－a＝0有一个正
根一个负根，则实数a的取值范围是 ．
解 方程x
2
－4x－a＝0可化为a＝x
2
－4x ，
即 a＝(x－2)
2
－4．
问题转化为抛物线y＝(x－2)
2
－4与直线y＝a
的交点一个在y轴的左边，一个在y轴的右边．
如图所示．
所以实数a的取值范围是区间(0，＋∞)．
y
x
O
例 2 设 f(x)＝
a－x
2
－4x，x＜0，
f(x－2)，x≥0，
若函数 y＝f(x)－2x恰
有 3 个不同的零点，则实数 a 的取值范围是_________．
分析 当x＞0，函数f(x)具有周期性．
解 若a＝0，则函数y＝f(x)，y＝2x的图象如图(1)所示．
当x＜0时，有1个交点；当x≥0时，有2个交点，共3个交点．
因为将图(1)中y＝f(x)的图象向上平移，始终有3个交点，
所以 a＞0满足条件．
若将图(1)中y＝f(x)的图象向下平移，开始仍然有3个交点．
当向下平移4个单位长度时，
如图(2)所示，也为3个交点．
继续往下移，交点个数少于3．
故至多向下平移4个单位长度．
所以a ≥－4，
即a 的取值范围为[－4，＋∞)．
(图2)
y
O
x
－4
2 4 6
－4
(图1)
y
O
x
－4
2 4 6
4
例 3 若函数 y＝f(x)是以 2 为最小正周期的函数，当
x∈[－1，1]时，f(x)＝x
2
，则在直角坐标系 xOy 中，函数
y＝f(x)的图象与函数 y＝|lgx|的图象的交点个数为____．
解 画出两个函数的图象，如图所示．
可以看出两个函数图象的交点共有10个．
y
O
x
y＝1
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11
1
－1
例4 设关于x的不等式x
2
－ax＋2a＜0的解集中恰有两个整
数，则实数a的取值范围是________________．
思考 能用线性规划来处理吗？
解法一 不等式x
2
－ax＋2a＜0，即a(x－2)＞x
2
．本题等价
于直线y＝a(x－2)上恰有两个横坐标为整数的点在抛物线y
＝x
2
的上方，求实数a的取值范围．
有人用感觉代替论证，
我用思考来寻求证明．
4
y
x
O
M
y
x
O
2
4
因为 f(－2)＝－1，f(－1)＝－
1
3
，
f(0)＝0，f(1)＝－1，
f(3)＝9，f(4)＝8，f(5)＝
25
3
，
故 a 的取值范围为[－1，－
1
3
)∪(
25
3
，9]．
解法二 显然 a≠0．若 a＞0，则 x＞2，所以 a＞
x
2
x－2
．
y
x
O
令 f(x)＝
x
2
x－2
，则 f'(x)＝
x(x－4)
(x－2)
2
，所以，当 2＜x＜4 时，f'(x)
＜0；当 x＝4 时，f'(x)＝0；当 x＞4 时，f'(x)＞0，所以 f(x)
在(2，4]上单调减，在[4，＋ ∞)上单调增．因为 f(3)＝9，f(4)
＝8，f(5)＝
25
3
，所以，关于 x 的不等式 a＞
x
2
x－2
恰有两个大
于 2 的整数解，当且仅当
25
3
＜a≤9．若 a＜0，则同理可求
得－1≤a＜－
1
3
．所以 a 的取值范围为[－1，－
1
3
)∪(
25
3
，9]．
例4 设关于x的不等式x
2
－ax＋2a＜0的解集中恰有两
个整数，则实数a的取值范围是________．
解法三 设 x
2
－ax＋2a＝0 的两根为 x
1
，x
2
(x
1
＜x
2
)，则
x
2
－ax＋2a＜0(*)的解 x∈(x
1
，x
2
)．
由题知，必要条件为 1＜x
2
－x
1
≤3，即 1＜ a
2
－8a≤3，
解得 4＋ 17＜a≤9 或－1≤a＜4－ 17．
若 4＋ 17＜a≤9，则 4＜
a
2
≤
9
2
．又 x
1
，x
2
关于
a
2
对称，故(*)
的整数解为 4 和 5．由 5－
a
2
＜
a
2
－8a
2
≤
a
2
－3，得
25
3
＜a≤9；
53
4
若－1≤a＜4－ 17，则－
1
2
≤
a
2
＜0，故(*)的整数解为－1 和 0．
由
a
2
＋1＜
a
2
－8a
2
≤1－
a
2
，得－1≤a＜－
1
3
．
所以 a 的取值范围为[－1，－
1
3
)∪(
25
3
，9]．
例4 设关于x的不等式x
2
－ax＋2a＜0的解集中恰有两
个整数，则实数a的取值范围是________．
解法四 设 f(x)＝x
2
－ax＋2a，同解法三得
4＋ 17＜a≤9 或－1≤a＜4－ 17．
若 4＋ 17＜a≤9，则 4＜
4＋ 17
2
＜
a
2
≤
9
2
．
又 x
1
，x
2
关于
a
2
对称，所以 f(x)＜0 的整数解为 4 和 5，
即 f(5)＝5
2
－5a＋2a＜0，f(3)＝3
2
－3a＋2a≥0，得
25
3
＜a≤9；
若－1≤a＜4－ 17，则－
1
2
≤
a
2
＜
4－ 17
2
＜0，
故 f(－1)＝1＋a＋2a＜0，f(1)＝1－a＋2a≥0，得－1≤a＜－
1
3
．
所以 a 的取值范围为[－1，－
1
3
)∪(
25
3
，9]．
53
4
例4 设关于x的不等式x
2
－ax＋2a＜0的解集中恰有两
个整数，则实数a的取值范围是________．
解 f(x)＝[2(x＋1)＋1]e
x＋1
－a(x＋1)，设g(x)＝(2x＋1)e
x
－ax，本题等价于“存在唯一整数t，使g(t)＜0”．
方法一 由g(x)＜0，得(2x＋1)e
x
＜ax，所以本题等价于
：函数p(x)＝(2x＋1)e
x
的图象上存在唯一的横坐标为整
数的点在直线y＝ax的下方．
怎么画函数p(x)的图象？
例5 设f(x)＝(2x＋3)e
x＋1
－ax－a，若存在唯一整数t，
使f(t)＜0，则实数a的取值范围为_______________．
因为 p'(x)＝2e
x
＋(2x＋1)e
x
＝(2x＋3)e
x
，所以函数
p(x)在(－∞，－
3
2
]上单调减，在[－
3
2
，＋∞)上单调增．
能画函数p(x)的图象了吗？
感觉不是思考，感觉有助思考．
y
O
x
又[p'(x)]'＝(2x＋5)e
x
，所以 p(x)图象的切线的斜率在
区间(－∞，－
5
2
]上单调减，在[－
5
2
，＋∞)上单调增．
能画函数p(x)的图象了吗？
设 l 与 p(x)图象的切点 M(m，(2m＋1)e
m
)，则
由
(2m＋1)e
m
m
＝(2m＋3)e
m
，解得 m＝－1 或
1
2
．
当 m＝
1
2
时，a＝4e
1
2
；当 m＝－1 时，a＝e
－
1
．
而直线l：y＝ax过原点，斜率为a，所以函数p(x)
的图象与直线l如图所示．
y
O
x
若 a＞4e
1
2
，则当 l 过点(1，3e)时，a＝3e；当 l 过点(2，
5e
2
)时，a＝
5
2
e
2
，故当且仅当 3e＜a≤
5
2
e
2
时，满足条件；
若 0＜a＜e
－
1
，则当 l 过点(－2，－ 3e
－
2
)时，a＝
3
2
e
－
2
，
所以当且仅当
3
2
e
－
2
＜a≤e
－
1
时，满足条件．
综上，a 的取值范围为[
3
2
e
－
2
，e
－
1
)∪(3e，
5
2
e
2
]．
直觉有助于思维，证明来自于思考
方法二 设 p(x)的图象与 l 的公共点 M(x，(2x＋1)e
x
)，则
a＝r(x)＝
(2x＋1)e
x
x
＝(2＋
1
x
)e
x
．
因为 r'(x)＝(2＋
1
x
－
1
x
2
)e
x
＝
(2x
2
＋x－1)e
x
x
2
，x≠0，
当 x＜－1 或 x＞
1
2
时，r'(x)＞0；当 x＝－1 或
1
2
时，r'(x)
＝0；当－1＜x＜
1
2
时，r'(x)＞0，
所以 r(x)在区间(－∞，－1]和[
1
2
，＋∞)上单调增，在
区间(－1，0)和(0，
1
2
)上单调减．
因为区间(－1，0)和(0，
1
2
)内都没有整数，所以，
函数 p(x)的图象上存在唯一的横坐标为整数的点在
l 的下方等价于
r(－2)≤a＜r(－1)或 r(1)＜a≤r(2)，
即
3
2
e
－
2
≤a＜e
－
1
或 3e＜a≤
5
2
e
2
．
所以，若存在唯一的整数 t，使得 f(t)＜0，则 a
的取值范围为[
3
2
e
－
2
，e
－
1
)∪(3e，
5
2
e
2
]．
方法三 由于 g(0)＝1，所以 x＝0 不是 g(x)＜0 的解．
由 g(x)＜0，得
当 x＞0 时，a＞
(2x＋1)e
x
x
；当 x＜0 时，a＜
(2x＋1)e
x
x
．
设 r(x)＝
(2x＋1)e
x
x
，所以本题等价于：
当 x＞0 时，函数 r(x)的图象上存在唯一的横坐标为
整数的点在直线 y＝a 的下方，或当 x＜0 时，函数 r(x)
的图象上存在唯一的横坐标为整数的点在直线 y＝a 的
上方，并且两者不同时成立．
g(x)＝(2x＋1)e
x
－ax，
因为 r'(x)＝
(2x
2
＋x－1)e
x
x
2
，x≠0，所以
当 x＜－1 或 x＞
1
2
时，r'(x)＞0；当 x＝－1 或
1
2
时，r'(x)＝0；当－1＜x＜0 或 0＜x＜
1
2
时，r'(x)＜0；
所以 r(x)在区间(－∞，－1]和区间[
1
2
，＋∞)
上单调增，在区间(－1，0)和(0，
1
2
)上单调减．
因为区间(－1，0)和(0，
1
2
]内都没有整数，所以
当 x＞0 时，存在唯一的整数 x，使得 a＞r(x)，
等价于 r(1)＜a≤r(2)，即 3e＜a≤
5
2
e
2
；
当 x＜0 时，存在唯一的整数 x，使得，a＜r(x)，
等价于 r(－2)≤a＜r(－1)，即
3
2
e
－
2
≤a＜e
－
1
，
综上，若存在唯一的整数 t，使得 f(t)＜0，则
实数 a 的取值范围为[
3
2
e
－
2
，e
－
1
)∪(3e，
5
2
e
2
]．
例 6 在菱形 ABCD 中，对角线 AC＝2，P 是对角线
BD 上一个靠近 B 的四等分点，则
→
AP ·
→
AB ＋
→
AP ·
→
AD的值为 ▲___．
解
→
AP ·
→
AB ＋
→
AP ·
→
AD ＝
→
AP ·(
→
AB ＋
→
AD )
A
B
C
D
O
P
＝
→
AP ·
→
AC
＝(
→
AO ＋
→
OP )·
→
AC
＝
→
AO ·
→
AC ＋
→
OP ·
→
AC
＝
1
2
→
AC
2
＝2．
分析
→
AP ·
→
AB ＋
→
AP ·
→
AD
＝
→
AP ·(
→
AB ＋
→
AD )＝
→
AP ·
→
AC．
例 7 如图，在平面直角坐标系 xOy 中，椭圆
x
2
a
2
＋
y
2
b
2
＝1(a＞b＞0)
的离心率为
2
2
，左、右顶点分别为 A，B．若动点 M 满足 MB⊥AB，
直线 AM 交椭圆于点 P，
(1)求证：
→
OM·
→
OP为定值；
(2)设以线段 MP 为直径的圆与直线
BP 交于点 Q，试问：直线 MQ 是否过定
点？若过定点，求出定点的坐标；若不过
定点，试说明理由．
B
y
O
x
A
P
M
解 设 c＝ a
2
－b
2
，由题知
c
a
＝
2
2
，所以 b＝c＝
2
2
a．
(1)特殊化，明确目标．当 P 是椭圆的上顶点时，
→
OM·
→
OP＝2b
2
；
B
y
O
x
A
P
M
M'
解 设 M(a，m)，由题知 A(－a，0)，
所以直线 AM 的方程为 y＝
m
2a
(x＋a)．
由
x
2
a
2
＋
y
2
b
2
＝1，
y＝
m
2a
(x＋a)，
消去 y，得
x
2
a
2
－1＋
m
2
4a
2
b
2
(x＋a)
2
＝0，
即 (x＋a)[(4b
2
＋m
2
)x－(4b
2
－m
2
)a]＝0，
解得 x＝－a 或
4b
2
－m
2
4b
2
＋m
2
a，所以 P(
4b
2
－m
2
4b
2
＋m
2
a，
4b
2
m
4b
2
＋m
2
)．
所以
→
OM·
→
OP＝
4b
2
－m
2
4b
2
＋m
2
a
2
＋
4b
2
m
2
4b
2
＋m
2
＝
2b
2
(4b
2
＋m
2
)
4b
2
＋m
2
＝2b
2
．
B
y
O
x
A
P
M
Q
Q'
M'
P'
T
(2)对称性，明确目标——定点在x轴上．
可以利用特殊化明确目标——定点 T(0，0)．
当 P 的坐标为(0，b)时，直线 MQ
的方程为 y－2b＝ 2(x－ 2b)．
令 y＝0，得 x＝0．
解 设 M(a，m)，由(1)知 P(
4b
2
－m
2
4b
2
＋m
2
a，
4b
2
m
4b
2
＋m
2
)．
所以直线BP的斜率为
4b
2
m
4b
2
＋m
2
4b
2
－m
2
4b
2
＋m
2
a－a
＝－
2b
m
．
所以直线MQ的方程为y－m＝
m
2b
(x－ 2b)．
令x＝0，得y＝0，即直线MQ过定点O(0，0)．
另法(注意完备性)
①k
BP
·k
OM
＝－1；
②
→
OM·
→
BP ＝0．
解法二 当 x＞0 时，(x－1)(x－
2
x
－a)≥0，所以，本题
等价于直线 y＝x－1 与曲线 y＝x－
2
x
－a 在 y 轴右边部分
横坐标相同的点始终在 x 轴的同侧．
解法一 函数y＝x－1与y＝x
2
－ax－2图象在y轴右边部分
横坐标相同的点始终在x轴的同侧，
所以抛物线y＝x
2
－ax－2经过直线y＝x－1与x
轴的交点(1，0)，即1－a－2＝0，得a＝－1．
此时，原不等式为(x－1)(x
2
＋x－2)≥0，
即(x－1)
2
(x＋2)≥0，满足条件，所以a＝－1．
由于 y＝x－1 与 y＝x－
2
x
－a 都在(0，＋∞)
上单调增，所以，由 1－2－a＝0，得 a＝－1．
例8 若不等式(x－1)(x
2
－ax－2)≥0对一切x∈(0，＋∞)
都成立，则实数a的取值范围为________．
解法三 由 x
2
－ax－2 的判别式△＝a
2
＋8＞0 知：存在
x
1
，x
2
∈R(x
1
＜x
2
)，使 x
2
－ax－2＝(x－x
1
)(x－x
2
)．
若 x
1
，x
2
都不为 1，则(x－1)(x－x
1
)(x－x
2
)在 x＝1
的两侧函数值异号，不满足条件，所以 x
1
，x
2
中有一
个为 1，从而 a＝ －1．
此时(x－1)(x
2
－ax－2)＝(x－1)
2
(x＋2)≥0，满足条件．
解法四 当 x＝1 时，a∈R；当 x＞1 时，x
2
－ax－2≥0，
即 a≤x－
2
x
． 因 为 f(x)＝ x－
2
x
在 区间(0， ＋ ∞ )上 单 调
增 ， 所 以 ， 当 x＞1 时，a≤f(1)＝－1；
当 0＜ x＜1 时，a≥x－
2
x
，所以 a≥f(1)＝－1．
综上，a＝ －1．
例8 若不等式(x－1)(x
2
－ax－2)≥0对一切x∈(0，＋∞)
都成立，则实数a的取值范围为________．
祝大家心想事成！